Question

13．如圖，一次函數y=ax+b（a≠0）的圖形與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，與y軸交于C點，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，點B的坐標為（m，-2）．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式．
（2）求△AOC的面積．

Answer 1

分析 （1）由OH和tan∠AOH的值即可求出點A的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值和點B的坐標，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；
（2）將x=0代入直線AB的解析式中求出y值，由此即可得出OC的長度，再根據三角形的面積公式即可求出△AOC的面積．

解答 解：（1）∵OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，
∴AH=OH•tan∠AOH=4，
∴點A的坐標為（-4，3）．
∵點A在反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=-4×3=-12，
∴反比例函數解析式為y=-$\frac{12}{x}$．
∵點B（m，-2）在反比例函數y=-$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴m=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴點B的坐標為（6，-2）．
將A（-4，3）、B（6，-2）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=3}\\{6a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x+1=1，
∴點C的坐標為（0，1），
∴OC=1，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AH=$\frac{1}{2}$×1×4=2．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征、解直角三角形以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是：（1）根據點A、B的坐標利用待定系數法求出直線AB的解析式；（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征求出點C的坐標．