Question

14．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求證：∠BAC=90°；
（2）P為BC邊上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，請求出BP的長．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB²，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC²，而BC=CD+BD=10，易求AC²+AB²=100=BC²，從而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三種情況：①當BP=AB時；②當BP=AP時；③當AP=AB時；分別求出BP的長即可．

解答 （11）證明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB²=AD²+BD²=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC²=CD²+AD²=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC²=100，
∴AC²+AB²=100=BC²，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分三種情況：
①當BP=AB時，
∵AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BP=AB=2$\sqrt{5}$；
②當BP=AP時，P我BC的中點，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=5；
③當AP=AB是，BP=2BD=4；
綜上所述：BP的長為2$\sqrt{5}$或5或4．

點評 本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應用以及等腰三角形的性質．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．