Question

6．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-4mx+4m+3的頂點為A．
（1）求點A的坐標；
（2）將線段OA沿x軸向右平移2個單位長度得到線段O′A′．
①直接寫出點O′和A′的坐標；
②若拋物線y=mx²-4mx+4m+3與四邊形AOO′A′有且只有兩個公共點，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將拋物線解析式配成頂點式，即可得出頂點坐標；
（2）根據平移的性質即可得出結論；
（3）結合圖象，判斷出拋物線和四邊形AOO'A'只有兩個公共點的分界點即可得出；

解答 解：（1）∵y=mx²-4mx+4m+3=m（x²-4x+4）+3=m（x-2）²+3，∴
∴拋物線的頂點A的坐標為（2，3）．
（2）由（1）知，A（2，3），
∵線段OA沿x軸向右平移2個單位長度得到線段O′A′．
∴A'（4，3），O'（2，0）；
   （3）如圖，

∵拋物線y=mx²-4mx+4m+3與四邊形AOO′A′有且只有兩個公共點，
∴m＜0．
由圖象可知，拋物線是始終和四邊形AOO'A'的邊O'A'相交，
∴拋物線已經和四邊形AOO′A′有兩個公共點，
∴將（0，0）代入y=mx²-4mx+4m+3中，得m=-$\frac{3}{4}$．
∴-$\frac{3}{4}$＜m＜0．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了配方法，平移的性質，拋物線的性質，解本題的關鍵是借助圖象找出只有兩個公共點的分界點，是一道比較簡單的題目，畫出圖象是解本題的難點，用數形結合的方法，有助于學生理解和找到分界點．