Question

3．已知在平面直角坐標系中，點A（1，2），點B（4，1），點C（-3，-2）．
（1）在x軸上找一點D，使AD+BD最小，求點D坐標；
（2）在y軸上找一點E，使|AE-CE|最大，求點E坐標．

Answer 1

分析 （1）作點A關于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸的交點即為所求；
（2）連接AC與y軸的交點即為所求．

解答 解：如圖所示：

（1）點A（1，2）關于x軸的對稱點為A'（1，-2），連接A'B交x軸于點D，
設直線A'B的解析式為y=kx+b，
將A'和B點的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴A'B的解析式為y=x-3，
∴D點的坐標為（3，0）；
（2）∵|AE-CE|≤AC，當AEC三點共線時|AE-CE|最大，
∴連接AC交于點E，點E即為所求，
設AC的解析式為y=mx+n，
將A、C兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-2=-3m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴AC的解析式為y=x+1，
∴E點的坐標為（0，1）．

點評 本題主要考查了軸對稱-最短路徑問題、坐標與圖形的性質，難度中等．熟悉“將軍飲馬”模型以及三角形三邊關系是解答本題的關鍵所在．