Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求證：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，∠ABC=120°，

∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，

∵AP=BQ，

∴△BDQ≌△ADP（SAS）

（2）解：過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E，

∵BQ=AP=2，

∵AD∥BC，

∴∠QBE=60°，

∴QE=QBsin60°=2× = ，BE=QBcos60°=2× =1，

∵AB=AD=3，

∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，

∴PE=PB+BE=2，

∴在Rt△PQE中，PQ= = ，

∴cos∠BPQ= = = ．

【解析】（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得△BDQ≌△ADP；（2）首先過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E，然后由三角函數的性質，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cos∠BPQ的值．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和解直角三角形，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．