Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）．連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖），設CP=x，DE=y．
（1）寫出y與x之間的關系式；
（2）若點E與點A重合，則x的值為；
（3）是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+4x
（2）2+ 或2﹣
（3）解：存在，過P作PH⊥AB于點H，

∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，

∴PD′=PD=4﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+2，∠PD′E=∠D=90°，

在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4﹣x，

根據勾股定理得：D′H= = ，

∵∠ED′A=180°﹣90°﹣∠PD′H=90°﹣∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，

∴△ED′A∽△D′PH，

∴ ，即 = =x= ，

整理得：2x2﹣4x+1=0，

解得：x= ．

當x= 時，y=﹣（ ）2+4× = ＞2，

此時，點E在邊DA的延長線上，D關于直線PE的對稱點不可能落在邊AB上，所以舍去．

當x= 時，y=﹣（ ）2+4× = ＜2，此時，點E在邊AD上，符合題意．

所以當x= 時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上

【解析】解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°， ∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴ ，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4﹣x，
又M為BC中點，BC=2，∴CM=1，
∴ ，
則y=﹣x2+4x；
所以答案是：y=﹣x2+4x；（2）當E與A重合時，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴ ，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4﹣x，
∴ ，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2+ 或x=2﹣ ，
則x的值為2+ 或2﹣ ；
所以答案是：2+ 或2﹣ ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．