Question

【題目】如圖,己知等邊△ABC中,AB=8.以AB為直徑的半⊙O與邊AC相交于點D.過點D作DE⊥BC,垂足為E,過點E作EF⊥AB,垂足為F、連接DF.

(1)求證:DE是⊙O的切線

(2)求EF的長;

(3)求sin∠EFD的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）EF=3；（3）

【解析】

（1）先判斷出△AOD是等邊三角形，進而得出OD∥BC，推出DE⊥OD即可得出結論；
（2）先求出CD=4，在Rt△CDE中利用30°所對的直角邊是斜邊的一半求出CE，即可求出BE，然后在Rt△BEF中可求EF；
（3）先求出OG，DG，再求出BF，即可求出FG，利用勾股定理求出DF，即可得出結論．

（1）如圖，連接OD，

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴∠A=∠ADO=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°=∠B，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）由（1）知，OD∥BC，
∵OA=OB，
∴AD=CD，
∵AC=AB=8，
∴CD=4，
在Rt△CDE中，∠C=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=CD=2，
∴BE=BC-CE=6，
在Rt△BEF中，∠B=60°，
∴∠BEF=30°，
∴EF=BEcos∠BEF=6×cos30°=
（3）如圖，連接DF，OD，過點D作DG⊥AB于G，

∵EF⊥AB，

∴EF∥DG
∴∠EFD=∠GDF，
∵△AOD是等邊三角形，
∴OG=OA=2，
∴DG=OG·tan∠AOD=
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，BE=6，
∴BF=BE=3
∴OF=OB-BF=4-3=1
∴FG=OG+OF=
在Rt△DGF中，根據勾股定理得，DF=
∴sin∠EFD=sin∠GDF=