Question

9．如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B、C、D在一條直線上，點M是AE的中點，
求證：（1）BM⊥DM且BM=DM；
（2）S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．

Answer 1

分析 （1）通過作輔助線MN，構建直角梯形的中位線，根據梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質a²+b²≥2ab（a=b時取等號）解答即可．

解答 解：（1）過點M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點M是AE的中點，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM，
又∵MN=$\frac{1}{2}$（AB+ED）=$\frac{1}{2}$BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，S_△CDE=$\frac{1}{2}$b²，S_梯形ABDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥ab（a=b時取等號），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．

點評 本題綜合考查了等腰直角三角形的判定與性質、梯形的中位線定理，特別是不等式的基本性質a²+b²≥2ab（a=b時取等號）是解決問題的關鍵．