Question

18．如圖，四邊形ABCD是菱形．∠ABC=60°，點E是BC邊上一點，∠AEF=60°，且EF交直線CD于點F，求證：AE=EF．

Answer 1

分析 在線段BA上截取BM=BE．只要證明△AME≌△ECF（ASA）即可證明．

解答 證明：在線段BA上截取BM=BE．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∵∠B=60°，BM=BE，
∴△BEM是等邊三角形，AM=EC，∠C=120°
∴∠BME=∠BEM=60°，
∴∠AME=120°=∠C，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∠AEF=∠B=60°，
∴∠FEC=∠EAM
在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠C}\\{AM=EC}\\{∠EAM=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

點評 本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握菱形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．