Question

1．如圖，點B、C是線段AD上的點，△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE與△CDG的相似比為2：5．則
①CD=10； 
②圖中陰影部分面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 ①利用相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；
②設AG與CF、BF分別相交于點M、N，根據等邊對等角求出∠CAG=∠CGA，再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CGA=30°，然后求出AG⊥GD，再根據相似三角形對應邊成比例求出CM，從而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答 ①解：∵△ABE、△CDG都是等邊三角形，
∴△ABE∽△CDG，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{2}{5}$，
即$\frac{4}{CD}$=$\frac{2}{5}$，
解得CD=10；

②解：如圖，設AG與CF、BF分別相交于點M、N，
∵AC=AB+BC=4+6=10，
∴AC=CG，
∴∠CAG=∠CGA，
又∵∠CAG+∠CGA=∠DCG=60°，
∴∠CGA=30°，
∴∠AGD=∠CGA+∠CGD=30°+60°=90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF=∠D=60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，
$\frac{CM}{DG}$=$\frac{AC}{AD}$，
即$\frac{CM}{10}$=$\frac{10}{20}$，
解得CM=5，
所以，MF=CF-CM=6-5=1，
∵∠F=60°，
∴MN=$\sqrt{3}$MF=$\sqrt{3}$，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MF•MN=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即陰影部分面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：10；$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角線的判定與性質等邊三角形的性質，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質，難點在于②判斷出直角三角形．