Question

12．如圖所示，四邊形OABC是矩形，點D在OC邊上，以AD為折痕，將△OAD向上翻折，點O恰好落在BC邊上的點E處，若△ECD的周長為4，△EBA的周長為12．
（1）矩形OABC的周長為16；
（2）若C點坐標為（0，3），求線段DE所在直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據翻折變換可知DE=DO、EA=OA，將△ECD、△EBA以及矩形OABC的周長用線段相加表示出來，由此即可得出C_矩形OABC=C_△ECD+C_△EBA，代入數據即可求出結論；
（2）根據點C的坐標以及C_矩形OABC=16即可找出OC、OA的長度，設OD=m（0＜m＜3），則DC=OC-OD=3-m，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出BE、CE的長度，在Rt△DCE中利用勾股定理可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出OD的長度，進而得出點D、E的坐標，再根據點D、E的坐標利用待定系數法即可求出線段DE所在直線的解析式．

解答 解：（1）C_△ECD=EC+CD+DE=4，C_△EBA=EA+AB+BE=12，
由翻折的特性可知：DE=DO，EA=OA，
∴C_矩形OABC=EC+CD+DO+OA+AB+BE=EC+CD+DE+EA+AB+BE═C_△ECD+C_△EBA=4+12=16．
故答案為：16．
（2）∵C點坐標為（0，3），C_矩形OABC=16，
∴OC=3，OA=5．
設OD=m（0＜m＜3），則DC=OC-OD=3-m．
在Rt△ABE中，AB=OC=3，EA=OA=5，
∴EB=$\sqrt{E{A}^{2}-A{B}^{2}}$=4，CE=CB-EB=OA-EB=1．
在Rt△DCE中，DC=3-m，CE=1，DE=OD=m，
∴DE²=DC²+CE²，即m²=（3-m）²+1²，
解得：m=$\frac{5}{3}$，
∴點D的坐標為（0，$\frac{5}{3}$），點E的坐標為（1，3）．
設線段DE所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
將D（0，$\frac{5}{3}$）、E（1，3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{3}}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴線段DE所在直線的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了待定系數法求一次函數解析式、翻折變換以及勾股定理，利用勾股定理找出線段OD、BE的長度是解題的關鍵．