Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在一個點M，使得MP＝MC，則稱點P為⊙C的“等徑點”，已知點D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D，E，F中，⊙O的“等徑點”是哪幾個點；

②作直線EF，若直線EF上的點T（m，n）是⊙O的“等徑點”，求m的取值范圍．

（2）過點E作EG⊥EF交x軸于點G，若△EFG各邊上所有的點都是某個圓的“等徑點”，求這個圓的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①⊙O的“等徑點”是D，E；②﹣2≤m≤﹣1；（2）r≥2．

【解析】

（1）①根據“等徑點”的定義可知，“等徑點”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍，由此即可判定；

②如圖2中，設直線EF交半徑為2的⊙O于點K，連接OK，作KM⊥OF于M．當點T在線段FK上時，點T是“等徑點”，求出點K的坐標即可解決問題；

（2）因為△EFG各邊上所有的點都是某個圓的“等徑點”，所以這個圓的圓心Q是線段FG的中點，易知Q（2，0），設這個圓的半徑為r．根據QG≤2r，構建不等式即可解決問題.

（1）根據“等徑點”的定義可知，“等徑點”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍．即半徑為1的⊙O的“等徑點”在以O為圓心2為半徑的圓內或圓上．

如圖1中，觀察圖象可知：在點D，E，F中，⊙O的“等徑點”是D，E．

②如圖2中，設直線EF交半徑為2的⊙O于點K，連接OK，作KM⊥OF于M．

∵OF＝2，OE＝2，

∴tan∠EFO＝=，

∴∠OFK＝60°，

∵OF＝OK，

∴△OFK是等邊三角形，

∴OF＝OK＝FK＝2，

∵KM⊥OF，

∴FM＝OM＝1，KM＝＝，

∴K（﹣1， ），

∵當點T在線段FK上時，點T是“等徑點”，

∴﹣2≤m≤﹣1．

（2）如圖3中，

∵△EFG是直角三角形，∠FEG＝90°，∠EFG＝60°，

∴EF＝2OF＝4，FG＝2EF＝8，

∴OG＝6，

由題意△EFG各邊上所有的點都是某個圓的“等徑點”，這個圓的圓心Q是線段FG的中點，Q（2，0），設這個圓的半徑為r．

由題意：QG≤2r

∴4≤2r，

∴r≥2，

即這個圓的半徑r的取值范圍為r≥2．