Question

【題目】問題背景

如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數量關系．

（1）特殊情景

在上述條件下，小明增加條件“當∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數量關系為______．

（2）類比猜想

類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．

（3）解決問題

如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE

【解析】

（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，由旋轉的性質可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根據∠EAF=∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可證明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，進而可得EF=BE+FD；（2）將△ABE繞點A逆時針旋轉α得到△ADH，由旋轉的性質可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根據∠BAD＝α，∠EAFα可得∠BAE+∠FADα，進而可證明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可證明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）將△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△AE′B，連接DE′，由旋轉的性質可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根據等腰直角三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可證明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的長即可的答案.

（1）BE+DF＝EF，

如圖1，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，

∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，

∴∠FDG＝180°，即點F，D，G共線．

由旋轉可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．

∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝FG．

又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴BE+DF＝EF，

故答案為：BE+DF＝EF．

（2）成立．

如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉α得到△ADH，

可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADH+∠ADC＝180°，

∴點C，D，H在同一直線上．

∵∠BAD＝α，∠EAFα，

∴∠BAE+∠FADα，

∴∠DAH+∠FADα，

∴∠FAH＝∠EAF，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；

（3）DE，

如圖3，將△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△AE′B，連接DE′．

可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，

在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，

∴CD=BC=BD=3，

∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，

∴E′B2+BD2＝E′D2．

易證△AE′D≌△AED，

∴DE＝DE′，

∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，

解得．