Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．

（1）求證：CF為⊙O的切線；

（2）若CE＝2，BE＝1，求BD長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝3

【解析】

（1）連結OC，由于∠A=∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）過點O作OG⊥DE，垂足為G，則可證四邊形OCEG是矩形，可得OG=CE=2，OC=GE=1+GB，根據勾股定理可求GB的長，根據垂徑定理可求BD的長．

解：（1）如圖：連結OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，

∵∠ABD＝2∠BAC，

∴∠ABD＝∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線；

（2）如圖：過點O作OG⊥DE，垂足為G

∵OG⊥DE，OC⊥CE，DE⊥CE

∴四邊形OCEG是矩形

∴OG＝CE＝2，OC＝GE＝1+GB

在Rt△OGB中，OB2＝OG2+GB2．

∴（1+GB）2＝4+GB2．

∴GB＝，

∵OG⊥DB

∴BD＝2GB＝3