Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，DE⊥AB于點E，且∠ADE＝60°，C是上一點，連結AC，CD．

（1）求∠ACD的度數；

（2）證明：AD2＝ABAE；

（3）如果AB＝8，∠ADC＝45°，請你編制一個計算題（不標注新的字母），并直接給出答案．（根據編出的問題層次，給不同的得分）

Answer 1

【答案】（1）∠ACD＝60°；（2）見解析；（3）請計算AC的長度，AC＝4．

【解析】

(1)連接OD，利用圓周角定理和等腰三角形的性質解答；

(2)連接BD，利用圓周角定理和射影定理證明或通過證明△ADE∽△ABD得到該結論；

(3)求AC的長度．如圖2，連接OC，BC，利用圓周角定理和等腰三角形的判定得到△ABC是等腰直角三角形，則由勾股定理了求得AC的長度即可．

(1)如圖，連接OD，

∵OA=OD，∠ADE=60°，DE⊥AB，

∴∠OAD=∠ODA=90°-∠ADE =90°-60°=30°．

∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-30°-30° =120°，

∴∠ACD=∠AOD=60°；

(2)如圖，連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90，

∵在△ADE和△ABD中，∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90，

∴△ADE∽△ABD．

∴．

∴AD2=ABAE；

(3)請計算AC的長度．

如圖2，連接OC，BC．

∵∠ADC=45°，

∴∠AOC=2∠ADC=90°，

又∵點O是AB的中點，

∴AC=BC，

又∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即2AC2=AB2=82，

則AC=4．