Question

【題目】綜合與探究

問題情境：

（1）如圖1，兩塊等腰直角三角板△ABC和△ECD如圖所示擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，點F，H，G分別是線段DE，AE，BD的中點，A，C，D和B，C，E分別共線，則FH和FG的數量關系是　 　，位置關系是　 　．

合作探究：

（2）如圖2，若將圖1中的△DEC繞著點C順時針旋轉至A，C，E在一條直線上，其余條件不變，那么（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，若將圖1中的△DEC繞著點C順時針旋轉一個銳角，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）FG=FH，FG⊥FH；（2）（1）中結論成立，證明見解析；

（3）（1）中的結論成立，結論是FH=FG，FH⊥FG．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）證BE=AD，根據三角形的中位線推出FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE， 即可推出答案；
（2）證△ACD≌△BCE,推出AD=BE，根據三角形的中位線定理即可推出答案；
（3）連接AD，BE，根據全等推出AD=BE，根據三角形的中位線定理即可推出答案．

試題解析：(1)∵CE=CD,AC=BC,

∴BE=AD，

∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，

∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案為：相等，垂直。

(2)答：成立，

證明：∵CE=CD, AC=BC，

∴△ACD≌△BCE,

∴AD=BE，

由(1)知：FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴(1)中的猜想還成立.

(3)答：成立，結論是FH=FG，FH⊥FG.

連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，

同(1)可證

∴FH=AD,FH∥AD,FG=BE,FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD,AC=BC,

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵ ∠CXA=∠DXB，

∴

∴ 即AD⊥BE，

∵FH∥AD,FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

結論是FH=FG，FH⊥FG