Question

8．如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，拋物線y=ax²+bx+2交x正半軸 于點A，交x軸負半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，連接AC，tan∠OCA=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第三象限拋物線y=ax²+bx+2上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線AC于點D，設PD的長為d，點P的橫坐標為t，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接PA，PC，當△ACP的面積為30時，將△APC沿AP折疊得△APC′，點C′為點C的對應點，求點C′坐標并判斷點C′是否在拋物線y=ax²+bx+2上，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點C，A，B的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）先用t表示出PN，再用三角形的面積的計算方法即可得出結論；
（3）先利用三角形ACP的面積表示出點P的坐標，再判斷出△AKC'≌△COA，進而得到C'K=4，AK=2，即可得出點C'的坐標，最后判斷即可得出結論．

解答 解：（1）把x=0代入 y=ax²+bx+2，得，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2
∴OB=OC=2，
∴B（-2，0），
∵tan∠OCA=2，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OA}{2}$=2，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把B（-2，0），A（4，0）代入y=ax²+bx+2，
即$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如圖，設PD交x軸于點N，
∵點P的橫坐標為t，PN⊥x軸，
∴點N的橫坐標為t，點P的縱坐標為-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+2，
∵點P在第三象限，
∴PN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2，
∴AN=4-t，
∵∠DNA=∠COA=90°，
∴DN∥OC，
∴∠ADN=∠ACO
∴tan∠ADN=tan∠ACO=2
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{4-t}{DN}=2$，
∴AN=2-$\frac{1}{2}$t         
∴d=PD=DN+PN=2-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=$\frac{1}{4}$t²-t（t＜-2）
（3）過點C作CR⊥PD于點R，過點C'作C'K⊥x軸于點K，
∵∠CRN=∠RNO=∠CON=90°，
∴四邊形OCRN為矩形，
∴CR=ON，
∵△ACP的面積為30，
∴S_△ACP=S_△APD-S_△CPD=$\frac{1}{2}$PD×AN-$\frac{1}{2}$PD×CR=$\frac{1}{2}$PD（AN-CR）=$\frac{1}{2}$PD（AN-ON）=$\frac{1}{2}$PD×OA=$\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{4}$t²-t）×4=$\frac{1}{2}$t²-2t=30
∴x=10 （舍去） x=-6
把x=-6代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
∴y=-10，
∴P（-6，-10），
∴PN=10，ON=6，
∴AN=PN=10，
∴∠PAN=∠APN=45°，
∵將△APC沿AP折疊得△APC'
△APC≌△APC'，
∴∠PAC'=∠PAC，即∠PAC'=∠PAN+∠CAO=45°+∠CAO
∴∠OAC'=∠PAO+∠PAC'=90°+∠CAO
∴∠CAK=180°-∠OAC'=90°-∠CAO=∠ACO
∵AC'=AC，∠AKC'=∠COA=90°，
∴△AKC'≌△COA    
∴C'K=OA=4，AK=OC=2，
∴OK=OA+AK=6，
∴C'（6，-4），
當x=6時，y=-4，∴點C'在拋物線y=ax²+bx+2上．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，銳角三角函數，折疊的性質，矩形的判定，三角形的面積的計算，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是△AKC'≌△COA．