Question

【題目】某市為了引導居民合理用水，居民生活用水實行二級階梯水價計量辦法，具體如下：第一階梯，每戶居民月用水量不超過12噸，價格為4元/噸；第二階梯，每戶居民月用水量超過12噸，超過部分的價格為8元/噸．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中字母a的值，并求該組的頻率；
（Ⅱ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的中位數m的值（保留兩位小數）；
（Ⅲ）如圖2是該市居民張某2016年1～6月份的月用水費y（元）與月份x的散點圖，其擬合的線性回歸方程是 =2x+33，若張某2016年1～7月份水費總支出為312元，試估計張某7月份的用水噸數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵（0.02+0.04+0.08+a+0.13+0.03+0.02）×2=1， ∴a=0.10，
第四組的頻率為0.1×2=0.2，
（Ⅱ）∵0.02×2+0.04×2+0.08×2+0.10×2+（m﹣8）×0.13=0.5
∴m=8+ ≈8.15．
（Ⅲ）∵ = （1+2+3+4+5+6）= ，且 =2x+33，
∴ =2× +33=40，
∴所以張某7月份的水費為312﹣6×40=72，
設張某7月份的用水噸數為x噸，
∵12×4=48＜72，
∴12×4+（x﹣12）×8=72，
解得x=15，
則張某7月份的用水噸數為15噸
【解析】（Ⅰ）根據小長方形的面積之和為1，即可求出a，（Ⅱ）由頻率分布直方圖估計樣本數據的中位數，規律是：中位數，出現在概率是0.5的地方，（Ⅲ）根據回歸方程即可求出答案
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息才能正確解答此題．