Question

【題目】已知函數f（x）=mex+x+1． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=mex+1， m≥0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
m＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣ ），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣ ），
故f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））遞增，在（ln（﹣ ），+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：若f（x）有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（﹣ ））=ln（﹣ ）＞0，
解得：﹣1＜m＜0，
由f（x1）=f（x2）得：m= ①，
m（ ﹣ ）+（x1﹣x2）=0②，
將①代入②整理得：
x1= +1，
故x2+x1= +1+x2 ，
由m= = 得：﹣1＜ ＜0，
解得：﹣1＜x2＜0，
令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），
則g′（x）=1﹣xe﹣x＞0，
故g（x）在（﹣1，0）遞增，
g（x）＞g（﹣1）=0，
故x2+x1= +1+x2＞0．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出x2+x1= +1+x2 ， 由m= = ，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．