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512. 以四面體各面的重心為頂點構成一個新的四面體.求這兩個四面體的表面積的比.

解析：因相似多面體全面積的比等于對應邊的平方的比，故只須求出對應邊的比.

∵B₁D₁＝EF＝BD，

∴＝.

同理，＝＝＝＝＝，

故ABCD和A′B′C′D′是相似多面體，其表面積的比為1∶9.

511. 已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為6的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=8，M是SA的中點，過M和BC作截面交SD于N.

(1)求證：截面MBCN是梯形，并求截面的面積；

(2)求截面MBCN與底面ABCD的夾角α.

解析：(1)先證MN∥BC且MN≠BC.因為BC∥AD，所以AD∥截面MBCN，從而

AD∥MN，BC∥MN.

又MN=AD=BC，所以MN≠BC.于是MN和BC平行但不相等，故MBCN是梯形.

再求截面的面積：SA⊥平面ABCD.易證MN和BC都垂直于平面ABS.所以MB⊥MN，MB⊥BC，故

S_截=(MN+BC)·MB

=(3+6)=9.

(2)首先要找到二面角的平面角.根據上面的證明，知∠MBA的是截面與底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是

tanα===

∴α=arctan

510. 棱錐被平行于底的平面分成體積相等的三部分.求這棱錐的高被分成三部分的比.

解析：設棱錐的高為h，它被截成的三部分自上而下設為h₁，h₂，h₃，則有

()³=,()³=2,()³=.

所以h₁=h,h₂=(-1)h₁=(-1)h，

h₃=h.

所以h₁∶h₂∶h₃=1∶(-1)∶(-).

說明 　求體積之比或面積之比常用相似比.

509. 已知三棱錐S-ABC的底面面積是a，三棱錐的高是h，M、N、P、Q分別是SB、SC、AC、AB的中點，求五面體MN-PQBC的體積

解析： 如圖，過M作MD∥BA交SA于D，則D是SA的中點，連結ND，則ND∥AC

所求五面體MN-PQBC的體積等于原三棱錐的體積與五面體SA-MQPN的體積之差

而V_S-ABC=ah，

V_S-DMN=·a·=ah，

V_{三棱主柱DMN-APQ}=S_△AQP·h=ah，

∴V_MN-PQBC=V_S-ABC-V_SA-MQPN

=ah-(ah+ah)

=ah

508.　 三棱錐A-BCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD，三個側面與底面所成的二面角分別為α、β、，則cosα+cosβ+cos=　　 　　.

解析：如圖所示，設AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c

由已知所有側面三角形和底面三角形都是全等的三角形.

記為S，側面在底面的射影分別為S₁、S₂、S₃

則=cosα, =cosβ, =cos

cosα+cosβ+cos===1

507. 下列命題中是真命題的是(　　 )

A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐

B.各條側棱都相等的棱錐是正棱錐

C.由一個面是多邊形，其余各個面是三角形所圍成的幾何體是棱錐

D.正四面體是正三棱錐

解析： 解此題時概念要明確，正棱錐不僅要求底面是正多邊形，而且還要求其頂點在底面的射影是底面的中心，所以A、B不正確，C中的各三角形沒有指明共頂點，C也不正確，D是真命題，所以選D.

506. 在空間中，

　①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線．

　②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線．

　以上兩個命題中，逆命題為真命題的是__________．

　(把符合要求的命題序號都填上)

解析：②．①的逆命題為：空間四點中若任何三點都不共線，則這四點不共面．此命題是假命題．平行四邊形的四個頂點是其反例．

　②的逆命題為：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點，可知此命題為真命題．

505. 如圖9－19，在棱長為a的正方體ABCD-中，O是AC、BD的交點，E、F分別是AB與AD的中點．

圖9－19

　(1)求異面直線與所成角的大小；

　(2)求異面直線EF與所成角的大小；

　(3)求異面直線EF與所成角的正切值；

　(4)求異面直線EF與的距離．

解析：(1)∵　 ∥AC，∴　 與AC所成的銳角或直角就是與所成的角，連結、，在△和△，∵　 ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵　 O是底邊AC的中點，∴　 ，故與所成的角是90°．

　(2)∵　 E、F分別是AB、AD中點，∴　 EF∥BD，又∵　 ∥AC，∴　 AC與BD所成的銳角或直角就是EF與所成的角．∵　 四邊形ABCD是正方形，∴　 AC⊥BD，∴　 EF與所成的角為90°

　(3)∵　 EF∥BD，∴　 為異面直線EF與所成的角．∵　 四邊形是正方形，∴　 ，∴　 在Rt△中，，＝＝，∴　 ，即EF與所成角的正切值為．

　(4)∵　 EF∥BD，BD⊥AC，∴　 EF⊥AC，設交點為G．∵　 ⊥AC(由(1)

知)于O，則AC是異面直線EF與的公垂線，OG的長即為EF與間的距離，由于G是OA中點，O是AC中點，且，∴　 ，即EF與間的距離為．

504. 如圖9－18，已知P為△ABC所在平面外一點，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分別為PA和BC的中點．

　(1)求證：EF與PC是異面直線；

　(2)EF與PC所成的角；

　(3)線段EF的長．

解析：(1)用反證法．假設EF與PC共面于a，則直線PE、CF共面a，則A∈a，B∈a，于是P與A、B、C共面于a，這與已知“P是平面ABC外一點”矛盾．故EF與PC是異面直線．

　(2)取PB中點G，連結EG、FG，由E、F分別是線段PA、BC中點，有EGAB，GFPC ∴　 ∠GFE為異面直線EF與PC所成的角，∠EGF是異面直線PC與AB所成的角，∵　 PC⊥AB，∴　 EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵　 PC＝AB＝2，∴　 EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴　 ∠GFE＝45°，即EF與PC所成的角是45°．

　(3)由(2)知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴　 EF＝

503. 借助兩支鉛筆，試研究以下問題：

　(1)在平面內，過直線外一點有多少條直線與已知直線平行?在空間呢?

圖9－17

　(2)在一個平面內，過一點有多少條直線與已知直線垂直?在空間呢?

　(3)在一個平面內，與該平面內的已知直線所成角為60°的直線有多少條?這些直線與已知直線的位置關系如何?在空間，與一條直線所成角為60°的直線有多少條?這些直線與已知直線的位置關系如何?

解析：(1)在一個平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；在空間也如此．

　(2)在一個平面內，過一點(該點可在直線上，也可在直線外)有且只有一條直線與已知直線垂線；在空間過直線上或直線外一點都有無數條直線和已知直線垂直，這無數條直線在過已知點的一個平面上(以后可知該平面與直線垂直)．

　(3)在一個平面內，與已知直線成60°角的直線有無數條，這無數條直線平行，且都與已知直線相交；在空間也是有無數條直線與已知直線成60°角，它們與已知直線位置關系是相交或異面．