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413.　 證明推論3成立.(如圖)

已知：a∥b，求證：經過a,b的平面有且只有一個.

證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經過a、b的平面有一個.

(唯一性)，在a上取兩點A、B，在b上取一點C.

∵a∥b,∴A、B、C三點不共線，由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.

412.　 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內.

已知：如圖，直線l₁，l₂，l₃，l₄兩兩相交，且不共點.

求證：直線l₁，l₂，l₃，l₄在同一平面內

解析：證明幾條直線共面的依據是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面α，然后證其它直線也在α內.

證明：圖①中，l₁∩l₂＝P，

∴　 l₁,l₂確定平面α.

又　 l₁∩l₃＝A,l₂∩l₃＝C,　 ∴ C,A∈α.

故　 l₃α.

同理　 l₄α.

∴　 l₁,l₂,l₃,l₄共面.

圖②中，l₁,l₂,l₃,l₄的位置關系，同理可證l₁,l₂,l₃,l₄共面.

所以結論成立.

411.　 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.

解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合.

證明　 ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個平面α.

∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可證nα.

∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β，同理可證mβ.

∵平面α、β都經過相交直線b、m,

∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.

410.　 點P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求證：X、Y、Z三點共線.

解析： 證明點共線的基本方法是利用公理2，證明這些點是兩個平面的公共點.

證明　 ∵P、Q、R三點不共線，∴P、Q、R三點可以確定一個平面α.

∵　 X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.

∴　 點X是平面α和平面BCD的公共點.同理可證，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.

409. 若ΔABC所在的平面和ΔA₁B₁C₁所在平面相交，并且直線AA₁、BB₁、CC₁相交于一點O，求證：

(1)AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別在同一平面內；

(2)如果AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別相交，那么交點在同一直線上(如圖).

(1)證明：∵AA₁∩BB₁＝O,

∴AA₁、BB₁確定平面BAO，

∵A、A₁、B、B₁都在平面ABO內，

∴AB平面ABO；A₁B₁平面ABO.

同理可證，BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別在同一平面內.

(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上.

證明：如圖，設AB∩A₁B₁＝P；

AC∩A₁C₁＝R；

∴　 面ABC∩面A₁B₁C₁＝PR.

∵　 BC面ABC；B₁C₁面A₁B₁C₁，

且　 BC∩B₁C₁＝Q　　　 ∴　 Q∈PR,

即　 P、R、Q在同一直線上.

408.　 已知四棱錐P-ABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E為PA的中點.

(1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求點E到平面PBC的距離；

(3)求二面角A-BE-D的大小.

(1)證明: 在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，連結AC、BD，交于F，則F為AC的中點.

又E為AD的中點，∴EF∥PC

又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.

∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC

∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離

過F作FH⊥BC交BC于H，

∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD

∴PC⊥FH.

又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離.

∵∠FCH＝30°，CF＝a.

∴FH＝CF＝a.

(3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，

∴AF⊥平面BDC.

∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE，

∴∠FGA為二面角D-BE-A的平面角.

FG＝×＝a,AF＝a.

∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg

即二面角A-BE-D的大小為arctg

407.　 如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

(1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB；

(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC-A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB

(2)由四邊形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，連AB′，可知ΔABB′是正三角形.取　　 B B′中點H，連結AH，則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面　　　　 C′B′BC，而AH垂直于兩平面交線BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.連結C′H，則∠AC′H為　　 AC′與平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.

406. 　如圖，在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點.

(1)求二面角α-l-β的大小；

(2)求證：MN⊥AB；

(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.

解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.

∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α-l-β的平面角.

∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α-l-β的大小為45°.

(2)過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB

(3)過N作NF∥CD，交PD于F，則F為PD的中點.連結AF，則AF為∠PAD的角平線，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴異面直線PA與MN所成的45°角.

405.　 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函數表示)；(2)點A到平面PBC的距離.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.

∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

∴sin∠CDD′＝＝

∴CD＝a　 ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC

又在RtΔABC中，AC＝＝a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB中，可得PB＝a.

在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.

在RtΔPAD中，PD＝＝a.

∵PC²+CD²＝(a)²+(a)＝8a²＜(a)²

∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延長線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP為二面角P-CD-A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.

∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.

∴∠AEP＝arctan，即二面角P-CD-A的大小為arctan.

(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.

AH為點A到平面PBC的距離.

在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.

即A到平面PBC的距離為a.

說明　 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結果，避免過多的推算.(2)中距離的計算，在學習幾何體之后可用“等體積法”求.

404.　 如果直線l、m與平面α、β、滿足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有(　　 )

A.α⊥且l⊥m　　　　　　 B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m　　　　　　　 D.α∥β且α⊥

解析：∵mα,m⊥.　 ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩＝l.　 ∴m⊥l.

∴應選A.

說明　 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應用推理判斷能力及空間想象能力.