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4．一物體從高H處自由下落，當其下落x時，物體的速度恰好是著地時速度的一半，由它下落的位移x=__________。H/4

3．一物體從高處A點自由下落，經B點到達C點，已知B點的速度是C點速度的3/4，BC間距離是7m，則AC間距離是__________m(g取10m/s²)。16

2．小球做自由落體運動，它在前ns內通過的位移與前(n+1)s內通過的位移之比是_____________。n²/(n+1)²

1．某物體從某一較高處自由下落，第1s內的位移是_______m，第2s末的速度是______m/s，前3s 內的平均速度是_________m/s(g取10m/s²)。5,20,15

5．重力加速度的測量

研究自由落體運動通常有兩種方法：用打點計時器研究自由落體運動和用頻閃攝影法研究自由落體運動。研究的原理和過程與前面對小車運動的研究相同，在對紙帶或照片進行數據處理，計算物體運動的加速時，可以有下面兩種方法：

(1)圖象法求重力加速度

以打點計時器研究自由落體運動為例，對實驗得到如圖2-4-1所示的紙帶進行研究。

根據勻變速直線運動的一個推論：在一段時間t內的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，有v₁=(x₁+x₂)/2T， v₂=(x₂+x₃)/2T……求出各計數點的瞬時速度后，由加速度的定義：a=Δv/Δt計算出該物體做勻變速直線運動的加速度；或選好計時起點作v-t圖象，圖象的斜率即為該勻變速直線運動的加速度。

(2)逐差法求重力加速度

圖2-4-1中x₁、x₂、x₃、…、x_n是相鄰兩計數點間的距離,Δx表示兩個連續相等的時間里的位移之差,即Δx₁= x₂-x₁, Δx₂= x₃-x₂, ……T是兩相鄰計數點間的時間間隔且T=0.02n(n為兩相鄰計數點間的間隔數)。

設物體做勻變速直線運動經過計數點0時的初速度為v₀，加速度為a，由位移公式得： x₁= v₀T+aT²/2，x₂= v₁T+aT²/2，又因為v₁=v₀+aT，所以Δx= x₂-x₁= aT²。因為時間T是個恒量，物體的加速度a也是個恒量，因此，Δx必然是個恒量。這表明，只要物體做勻變速直線運動，它在任意兩個連續相等時間里的位移之差就一定相等。

　　 根據x₄-x₁= (x₄-x₃)+ (x₃-x₂)+ (x₂-x₁)=3aT²，可得：

　　 a₁=(x₄-x₁)/3T²，同理可得：a₂=(x₅-x₂)/3T² ；a₃=(x₆-x₃)/3T²。

加速度的平均值為：

a=(a₁+a₂+a₃)/3=[(x₄-x₁)/3T²+(x₅-x₂)/3T²+(x₆-x₃)/3T²]/3

=[( x₄+x₅+x₆)- ( x₁+x₂+x₃)] /9T²

這種計算加速度的方法叫做“逐差法”。

如果不用此法，而用相鄰的各x值之差計算加速度再求平均值可得：

a=[(x₂-x₁)/T²+(x₃-x₂)/T²+(x₄-x₃)/T²+(x₅-x₄)/T²+(x₆-x₅)/T²]/5=(x₆-x₁)/5T²

比較可知，逐差法將x₁到x₆各實驗數據都利用了，而后一種方法只用上了x₁和x₆兩個實驗數據，所以失去了多個數據正負偶然誤差互相抵消的作用，算出的a值誤差較大，因此實驗中要采用逐差法。

[范例精析]

例1：甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分別從高H、2H處同時自由落下(H足夠大)，下列說法正確的是(　　 )

A．同一時刻甲的速度比乙大

B．下落1m時，甲、乙的速度相同

C．下落過程中甲的加速度大小是乙的5倍

D．在自由下落的全過程，兩球平均速度大小相等

　 解析：甲、乙兩球同時作初速度為零、加速度為g的直線運動，所以下落過程的任一時刻兩者加速度相同、速度相同，但整個過程中的平均速度等于末速度的一半，與下落高度有關。所以正確選項為B。

拓展：自由落體運動是勻加速直線運動的一個特例，其初速度為零、加速度為g，g的大小與重力大小無關。當問題指明(或有明顯暗示)空氣阻力不能忽略不計時，物體運動就不再是自由落體運動。

例2：水滴由屋檐自由下落，當它通過屋檐下高為1.4m的窗戶時，用時0.2s，不計空氣阻力，g取10m/s²，求窗臺下沿距屋檐的高度。

解析：雨滴自由下落，由題意畫出雨滴下落運動的示意圖如圖2-4-2所示,利用自由落體運動的特點和圖中的幾何關系求解。

如圖2-4-2所示h₁=gt²/2……①

h₂=gt²/2……②

t₂=t₁+0.2s……③

h₂=h₁+L……④

由①②③④解得:g(t₁+0.2)²/2=gt₁²/2+L代入數據得t₁=0.6s

所以, h2=g(t₁+0.2)²=10×0.8²/2=3.2m

拓展：由該問題的解題過程可以看出，利用平均速度來解題比較方便、簡捷。請思考：本題有無其它解題方法，如有，請驗證答案。

例3：升降機以速度v＝4.9m/s勻速豎直上升，升降機內的天花板上有一個螺絲帽突然松脫，脫離天花板。已知升降機天花板到其地板的高度為h＝14.7m。求螺絲帽落到升降機地板所需時間。

解析：解法一：以地面為參照物求解

(1)上升過程：螺絲帽脫離升降機后以v=4.9m/s初速度豎直向上運動

上升到最高點時間：t₁=-v/(-g)=4.9/9.8=0.5s

上升到最高點的位移：h₁=(0-v²)/(-2g)=(0-4.9²)/(-2×9.8)=1.225m

螺絲帽的運動過程如圖2-4-3所示，由圖中位移約束關系得：

h₁+h=h₂+v(t₁+t₂) 即v²/2g+h=gt₂²/2+v(t₁+t₂)

v²/2g+h=gt₂²/2+v(v/g+t₂)　 代入數據化簡得：t₂²+t₂-2.75=0

解得：t₂=1.23 s

因此，螺絲帽落到升降機地板所需時間t=t₁+t₂ =1.73s

解法二：以升降機為參照物求解

我們以升降機為參考系，即在升降機內觀察螺絲帽的運動，因為升降機做勻速直線運動，所以相對于升降機而言，螺絲帽的下落加速度仍然是重力加速度。顯然，螺絲帽相對于升降機的運動是自由落體運動，相對位移大小即升降機天花板到其地板的高度。由自由落體運動的規律可得

h＝gt²/2

t＝1.73s

拓展：參考系選擇不同，不僅物體的運動形式不同，求解時所用的物理規律也可能不同。選擇適當的參考系，往往可以使問題的求解過程得到簡化。

[能力訓練]

4．自由落體運動是勻變速直線運動在v₀=0、a=g時的一個特例,因此其運動規律可由勻變速直線運動的一般規律來推導。

速度公式：v_t=gt

　　 位移公式：h=gt²/2

　　 速度與位移的關系式：v_t²=2gh

在應用自由落體運動的規律解題時，通常選取　　　方向為正方向。

3．　　　　　　　　　　　　　　 叫做自由落體加速度，也叫　　　　　　 　　，通常用符號_____表示。重力加速度g的方向總是_______________；g的大小隨地點的不同而略有變化，在地球表面上赤道處重力加速度最小，數值為________，南、北兩極處重力加速度_　 ______，數值為_______；g的大小還隨高度的變化而變化，高度越大，g值______。但這些差異并不是太大，在通常計算中，地面附近的g取9.8m/s²，在粗略的計算中，g還可以取10m/s²。

2．自由落體運動的特點：物體僅受重力作用；初速度v₀=____，加速度a=____，即初速度為零的勻加速直線運動。

[要點導學]

1．物體只在___________________________________________叫做自由落體運動。這種運動只在沒有空氣的空間里才能發生，我們所研究的自由落體運動是實際運動的一種抽象，是一種理想化的運動模型：忽略次要因素(空氣阻力)、突出主要因素(重力)。生活中的很多落體問題，如果空氣阻力的作用比較小，可以忽略，物體的下落也可以近似看作自由落體運動。因此，對生活中的落體運動進行理想化處理是有實際意義的。

10、一礦井深為125m，在井口每隔一定時間自由下落一個小球，當第11個小球剛從井口下落時，第1個小球剛好到達井底。則相鄰兩個小球開始下落的時間間隔為多少？第3 個小球和第5個小球相隔多少米？