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22、(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講

如圖，過圓O外一點M作它的一條切線，切點為A，過A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。

(Ⅰ)證明：OM·OP = OA²；

(Ⅱ)N為線段AP上一點，直線NB垂直直線ON，且交

圓O于B點。過B點的切線交直線ON于K。證明：∠OKM = 90°。

[試題解析]：(Ⅰ)證明:因為MA是圓O的切線,所以.

　 又因為,在中,由射影定理知,

.

(Ⅱ)證明:因為BK是圓O的切線, ,

同(Ⅰ),有, .

所以,即.

又,

所以,故.

[高考考點]圓的有關知識及應用

[易錯點]：對有關知識掌握不到位而出錯

[備考提示]：高考對平面幾何的考查一直要求不高，故要重點掌握，它是我們的得分點之一。

(23)(本小題滿分10分)選修4-4；坐標系與參數方程

已知曲線C₁：(為參數)，曲線C₂：(t為參數)。

(Ⅰ)指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；

(Ⅱ)若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線。寫出的參數方程。與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由。

[試題解析]：(Ⅰ)C₁是圓，C₂是直線，

C₁的普通方程是，C₂的普通方程是.

因為圓心C₁到直線的距離是1,

所以C₁與C₂只有一個公共點.

(Ⅱ)壓縮后的參數方程分別為C₁：，

曲線C₂：.

化為普通方程為:,: .

聯立消元得,

其判別式,

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和C₁與C₂的公共點的個數相同。

[高考考點]參數方程與普通方程的互化及應用

[易錯點]：對有關公式掌握不到位而出錯.

[備考提示]：高考對參數方程的考查要求也不高，故要重點掌握，它也是我們的得分點之一

(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數。

(Ⅰ)作出函數的圖像；

(Ⅱ)解不等式。

[試題解析]:(Ⅰ)令，則

．．．．．．．．．．．．．．．3分

圖象如圖所示，

(Ⅱ)不等式,即.

由得.

由函數圖象可知，原不等式的解集為．

[高考考點]絕對值不等式的有關知識及應用本題主要考查參數方程與普通方程的互化，以及轉化與化歸的思想，分析問題與解決問題的能力。

[易錯點]：對絕對值不等式不會靈活分類而出錯.

[備考提示]：高考對絕對值不等式的考查要求不高，以中檔題為主，故是我們的得分點之一，平時復習時不要盲目加深。

(2008江蘇卷)附加題

21：從A，B，C，D四個中只能選做2題，每小題10分，共計20分。

A．選修4-1：幾何證明選講

如圖，設△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．求證：．

證明：如圖，因為 是圓的切線，

　　　 所以，,

　　　 又因為是的平分線，

　　　 所以

　　　 從而

　　　 因為 ,

　　　 所以 ,故.

　　　 因為 是圓的切線，所以由切割線定理知，

　　　 ,

　　 而，所以。

B．選修4-2　矩陣與變換

在平面直角坐標系中，設橢圓在矩陣對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

解：設是橢圓上任意一點，點在矩陣對應的變換下變為點

　則有

，即，所以

　 又因為點在橢圓上，故，從而

　所以，曲線的方程是

C．選修4-4　參數方程與極坐標

在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值．

解： 因橢圓的參數方程為

　　 故可設動點的坐標為，其中.

　　 因此

　　 所以，當時，取得最大值2。

D．選修4-5　不等式證明選講

設a，b，c為正實數，求證：．

證明：因為為正實數，由平均不等式可得

　　　 即　

　　　 所以，

　　　 而

　　　 所以 　。

15．(幾何證明選講選做題)已知PA是圓O的切點，切點為A，PA＝2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB＝1，則圓O的半徑R=________.

[解析]依題意，我們知道,由相似三角形的性質我們有,即。

(2008海南、寧夏)

14．(坐標系與參數方程選做題)已知曲線的極坐標方程分別為

，則曲線 交點的極坐標為　　　　　　 。

[解析]我們通過聯立解方程組解得，即兩曲線的交點為。

15．(幾何證明選講選做題)已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑　　　　　 ．

[標準答案]。

[試題解析]依題意，我們知道，由相似三角形的性質我們有，即。

[高考考點]幾何證明選講.

(2008廣東文)

14．(不等式選講選做題)已知，若關于的方程有實根，則的取值范圍是　　　　　　 ．

[標準答案]。

[試題解析]關于的二次方程的判別式，方程有實根，那么

。

即，而，從而，

解得。

[高考考點]不等式選講。

13．(2008廣東理)(坐標系與參數方程選做題)已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為　　　　　 ．

[標準答案]。

[試題解析]我們通過聯立解方程組解得，即兩曲線的交點為。

[高考考點]極坐標、極坐標方程.

22．C(本小題滿分10分)選修；不等式選講

設函數．

(I)解不等式；

(II)求函數的最小值．

解：

(Ⅰ)令，則

．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函數的圖象，它與直線的交點為和．

所以的解集為．

(Ⅱ)由函數的圖像可知，當時，取得最小值．

22．B(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數方程

和的極坐標方程分別為．

(Ⅰ)把和的極坐標方程化為直角坐標方程；

(Ⅱ)求經過，交點的直線的直角坐標方程．

解：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

(Ⅰ)，，由得．

所以．

即為的直角坐標方程．

同理為的直角坐標方程．

(Ⅱ)由解得．

即，交于點和．過交點的直線的直角坐標方程為．

22．A(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講

如圖，已知是的切線，為切點，是的割線，與交于兩點，圓心在的內部，點是的中點．

(Ⅰ)證明四點共圓；

(Ⅱ)求的大小．

(Ⅰ)證明：連結．

因為與相切于點，所以．

因為是的弦的中點，所以．

于是．

由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得四點共圓，所以．

由(Ⅰ)得．

由圓心在的內部，可知．

所以

22．請考生在三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．