兩個原理與排列
〖考綱要求〗掌握兩個原理，并能用這兩面個原理分析和解決一些簡單的問題，理解排列的意義，掌握排列數公式，并能用它們解決一些簡單的問題。
〖雙基回顧〗
1、分類計數原理：
做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1+m2+…+mn 種不同的方法。
2、分步計數原理：
做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×…×mn
種不同的方法。
二者區別：_____________________________________________________________________
3、排列的定義：從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 由定義可知，兩個排列相同，則這兩個排列的元素和排列順序均完全相同.
排列數：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，用符號
表示。
全排列：_____________________________________________________________________
4、公式：
=____________________ 
=____________ 0！=_____________
〖課前訓練〗
1、已知a∈｛3,4,5｝，b∈｛0,2,7,8｝,r∈｛1,8,9｝則方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可以表示_______個不同的圓。
2、若a∈｛1,2,3,5｝, b∈｛1,2,3,5｝則方程y=
表示的不同的直線條數為________。
3、一部紀錄片在4個單位輪映，每一單位放映一場，可有_______種輪映次序。
4、若從集合P到集合Q=｛a、b、c｝所作的不同映射共有81個，則從集合Q到集合P可作的不同映射共有________個。
5、某賽季足球比賽的計分規則是：勝一場得3分；平一場得1分；負一場得0分。一球隊打完15場，積分33分。若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有………………………………（ ）
（A）3種子 （B）4種 （C）5種 （D）6種
〖典例分析〗
例1、（1）6名同學報名參加數學、物理、英語競賽，每人報且僅報一科，則不同的報名方法共有多少種？（2）從1到40正整數中每次取出兩個數，使它們的和大于40，則不同的取法共有多少種？
例2、5名學生報名，參加4項體育比賽，每人限報一項，報名方法種數為多少？又他們爭奪這4項比賽的冠軍的可能性有多少種？
例3、要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學排在上午（前四節）、體育排在下午（后兩節），求不同的排法種數。
例4、由0、1、2、3、4、5、6、可以組成多少個沒有重復數字的
（1）五位數； （2）五位偶數； （3）能被5整除的五位數；
（4）能被3整除的五位數； （5）比42310大的五位數.
〖課堂練習〗
1、4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起的排法有………………………………（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數為……………………………………………………………………………………………（ ）
（A）60 （B）48 （C）36 （D）24
3、210的所有正約數的個數共有………………………………………………………………（ ）
（A）12個 （B）14個 （C）16個 （D）20個
4、在5名運動員中，選4名參加4×100米接力賽，甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法不多少種？
〖課堂小結〗
1、分類計數原理與分步計數原理的區別在于完成一件事是______還是______。若是分類，則N=m1＋m2…+mn;若是分步，則N= m1?m2…mn
2排列問題的解題思想方法：
（1）直接法――體現合理分類（不重不漏）；（2）間接法――體現逆向思維（正難則反）
〖能力測試〗 姓名____________________得分___________________
1、集合A=｛a,b,c｝,B=｛d,e,f,g｝,從集合A到集合B的不同映射個數是……………………（ ）
（A）24 （B）81 （C）6 （D）64
2、要排一個有5個獨唱節目和3個舞蹈節目的節目單，如果舞蹈節目不排在開頭，并且任意兩個舞蹈節目不排在一起，則不同的排法種數有………………………………………………（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3、用1、2、3、4、5這五個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有……………（ ）個
（A）24 （B）30 （C）40 （D）60
4、有四位司機，四位售票員分配到四輛公共汽車上，使每輛汽車有一位司機和一位售票員，則可能有的分配方案種數為……………………………………………………………………………（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5、將三封信投入4個不同的郵筒，有________不同的投法，4名學生從3個不同的樓梯下樓，有________種不同的下法。
6從0、1、2、3、4五個數字中，任選3個作為二次函數的系數（各項系數均不相同），可以得到二
次函數_________個。
7、同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式為________種。
8、甲廠生產的電視機外殼有3種，顏色有4種；乙廠生產的電視機外殼另有4種，顏色另有5種，問兩個廠的電視機從外殼、顏色看共有多少種？
9、（1）由數字1、2、3、4、5可以組成多少個沒有復數字的正整數？
（2）由數字1、2、3、4、5可以組成多少個沒有復數字，并且比13000大的正整數？
10、5名學生站成一排，其中A不排站在兩端，B不能站在正中間，求不同的排法種數。
11、由數字0、1、2、3、4、5組成沒有復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的有多少個？
組合與組合數
〖考綱要求〗理解組合的意義，掌握組合數的計算公式和組合數性質，能解決簡單的組合應用題。
〖雙基回顧〗
1、組合的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
2、組合數：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，用符號
表示.
3、組合數公式：（1）
______________________（2）
_______________________.
4、組合數性質：（1）______________________ （2）____________________________.
〖課前訓練〗
1、下列四式總能成立的是…………………………………………………………………………（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）(n＋1)!－n!=n＋1
2、某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現在挑選5名隊員參加比賽，種子選手都必須在內，那么不同的選法共有………………………………………………………………（ ）種。
（A）126 （B）84 （C）35 （D）21
3、某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法共有…………………………………………………………………………………………（ ）種。
（A）27 （B）48 （C）21 （D）24
4、已知｛1，2｝
Z 
｛1，2，3，4，5｝，滿足這個關系式的集合Z共有…………（ ）個。
（A）2 （B）6 （C）4 （D）8
5、正十二邊形的對角線的條數是______________
6、有13個隊參加籃球賽，比賽時先分成兩組，第一組7個隊，第二組6個隊，各組都進行單循環賽，然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環決定冠軍、亞軍，共需__________場比賽。
7、某毛巾廠生產的毛巾，每100條毛巾中有次品5條，在抽樣檢查時，抽三條進行檢查。
（1）共有_________種抽法。 （2）恰有一條次品的抽法有____________種。
（3）至少有一條次品的抽法有__________種。 （4）最多有一條次品的抽法有__________種。
8、一架天平有7個砝碼，質量分別是1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克，如果每次稱量至少有一個砝碼，那么這架天平可以稱量不同質量的物體的種數是__________。
〖典例解析〗
例1、設M和N是不重合的兩個平面，在平面M上有5個點，在平面N上有4個點，由這些點最多可確定多少個不同位置的三棱錐（請用直接法和間接法兩種方法解）？
 |
例2、（1）圖中有多少個矩形？
（2）從A到B有多少種最短走法？
例3、10名演員，其中5名能歌，8名善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由一人獨唱四人伴舞的節目，共有幾種選法？
例4、在一張節目表中，原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添加進去三個節目，求共有多少種安排方法？
例5、二次函數y=ax2＋bx＋c的系數a、b、c是取自0，1，2，3，4這五個數中不同的值且a＞b,求這樣的二次函數共有多少個？
例6、證明：
＋
＋
＋……
=
〖課堂小結〗
1、 組合數公式有連乘和階乘兩種形式，常分別用計算和證明。組合數的性質常用于等式證明和簡
化計算。
2、解有限制條件的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（逆向思維）。
3、解組合應用題時，注意“至少”、“最多”、“恰好”等詞的含義。
〖課堂練習〗
1、（1）某段鐵路上有12個車站，共有多少種不同價格的客票？
（2）某校舉行排球單循環賽，有8個隊參加，共需要進行多少場比賽？
（3）平面內有12個點，任何3點不共線，以每3點為頂點作三角形，一共可作多少個三角形？
（4）某人射擊6次，恰好有3槍命中的結果有多少種？
2、以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有………………………………………………（ ）個。
（A）70 （B）64 （C）58 （D）52
3、計算：（1）
＋
＋
＋……
=
（2）若
，則=
〖能力測試〗 姓名______________ 得分_________________
1、四面體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱中點中取三個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有…………………………………………………………………………………（ ）種。
（A）36 （B）33 （C）30 （D）39
2、在200件產品中有3件次品，現從中任意抽取5件，其中至少2件次品的抽法有…（ ）種。
（A）
（B）
－
（C）
＋
（D）－
3三名醫生和六名護士被分配到三所學校為學生體檢，每校分配一名醫生和二名護士，不同的分配方法共有………………………………………………………………………………………（ ）種。
（A）90 （B）180 （C）270 （D）540
4、五項不同的工程由3個工程隊全部承包下來，每隊至少承包一項一程，則不同的承包方案有
………………………………………………………………………………………（ ）種。
（A）30 （B）60 （C）150 （D）180
5、從1、2、……10這十個數字中任取四個數，使它們的和為奇數，共有___________取法。
6、設含有10個元素組成的集合的全部子集數為S，其中由3個元素組成的子集數為T，則
______________。
7、從一組學生中選出四名學生當代表的選法有A種，從這組學生中選正、副組長各一人的選法有B種，若
=
，問這組學生共有多少人？
8、在一次考試中，要求學生做試卷中10個考題中的6個，并且要求至少包含后5題中的3個題，則考生答題的不同選法種類是多少？
9、某車間生產出某種產品50件，其中3件是次品，其余47件是合格品，從這50件產品中任意抽取5件，求其中至少有兩件是次品的概率是多少？
*10、設集合A=｛1，2，3，…10｝，（1）設A的含3個元素的子集個數為n, 求n的值。
（2）設A的含3個元素的每個子集中，3個元素的和分別為a1、a2、a3、…、an，
求a1＋a2＋a3＋…＋an的值。
排列、組合應用題
【考綱要求】
能正確地運用兩個原理，合理地進行分類與分步，掌握解排列、組合混合題的一般方法。方案合理，步、類分清；有序排列，無序組合；類型對準；混合應用，先組合后排列。
【課前練習】
試卷類型：A
饒平縣第一中學2009年普通高考測試題（一）
數 學（理 科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁。 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁；答題卡共6面。滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、座位號，將相應的試室號、座位號信息點涂黑。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么 球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么 其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是
那么在
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率 其中表示球的半徑
第一部分（選擇題，共40分）
平面的基本性質
〖知識點分布〗1、平面；2、平面的基本性質；3、平面圖形的直觀圖的畫法。
〖考綱要求〗1、掌握平面的基本性質；2、會用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖；3、熟悉各種符號及其應用。
〖復習要求〗掌握平面的基本性質，主要是三個公理、三個推論及其應用.會用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖；會證明共面、共點、共線問題；掌握反證法的應用；知道什么叫“空間四邊形”.
〖雙基回顧〗
公理1：________________________________ ____.用符號表示為：_____________________.
公理2：_________________________________ _________.用符號表示為：_____________________.公理3：_____________________._______________________________________________________
推論1：_________________________________________________.
推論2：_________________________________________________.
推論3：___________________________________________________.
公理1是證明____________________________________的依據；
公理2是證明___________________的依據；
公理3及其三個推論是證明__________________________________________.的依據。
2、斜二測畫法的規則： ①________________ _____,②______________________________,
③___________________ ___,④_____________________________.
〖課前練習〗
1、下面幾個命題：⑴兩兩相交的三條直線共面；⑵如果兩個平面有公共點，則公共點有無數個；⑶一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；⑷有三個內角是直角的空間四邊形一定是矩形；⑸順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。其中正確命題的個數是……………………………………………………………………………………………………（ ）
(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個
2、設E、F、G、H是空間四點.命題甲：E、F、G、H不共面；命題乙：直線EF、GH不相交，那么甲是乙的…………………………………………………………………………………（ ）條件
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
3、由空間四點中某些確定平面的元素，可以確定平面的個數為…………………………………（ ）
(A)0個 (B)1個 (C)1個或者4個 (D)不存在
5、命題甲：空間中若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線，它的逆命題記作乙，則（ ）
（A）甲、乙都正確； （B）甲、乙都不正確；（C）甲不正確，乙正確；（D）甲正確、乙不正確。
〖典型例題〗
1、已知直線a∥b∥c，直線d與a、b、c分別交于A、B、C，
求證：四直線a、b、c、d共面.
2、已知△ABC在平面a外，三邊AB、BC、CA分別與平面a交于P、Q、R，求證：P、Q、R共線.
3、如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求證：E、F、G、H四點共面。
（2）設EG與HF交于點P，求證：P、A、C三點共線。
4、三個平面兩兩相交，得到三條交線，求證：它們
或者互相平行或者交于一點.
〖課堂練習〗
1、一個平面把空間分為 部分；兩個平面把空間分為 部分；三個平面把空間分
為
部分.
2、一條直線和該直線外不共線的三點最多可以確定平面的個數
為………………………………………………………………（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3、正方體AC1中，O是BD中點，A1C與截面BDC1交于P，那么C1、P、O三點共線。其理由是 .
〖課堂小結〗
1、證明共面通常有方法：⑴先作一個平面，再證明有關的點在此平面內；⑵分別過某些點作多個平面，然后證明這些平面重合.
2、公理2是證明直線共點的依據，應該這樣理解：
⑴如果A、B是交點，那么AB是交線；
⑵如果兩個不同平面有三個或者更多的交點，那么它們共面；
⑶如果a∩b=l，點P是a、b的一個公共點，那么P∈l.
〖能力測試〗 班級 姓名
1、a、b兩個不重合平面，a上取3個點、b上取4個點，則由這些點最多可以確定平面的個數為（ ）
(A)30 (B)32 (C)35 (D)40
2、兩條直線l、m都在平面a內并且都不在b內.命題甲：l、m中至少有一條與b相交；命題乙：與a、b相交.那么甲是乙的………………………………………………………………………………（ ）
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
3、給出下列命題：⑴梯形的四個頂點共面；⑵三條平行直線共面；⑶有三個公共點的兩個平面重合；⑷每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面. 其中正確命題的個數為……………（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4、下列各種四邊形中，可能不是平面四邊形的是…………………………………………………（ ）
(A)內接于圓的四邊形 (B)四邊相等的四邊形
(C)僅有一組對邊平行的四邊形 (D)相鄰兩邊成的角都是直角的四邊形.
5、空間四點“無三點共線”是“四點共面”的……………………………………………………（ ）
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
6、如圖正方體中，E、F分別是AA1、CC1上的點并且AE=C1F，
求證：B、E、D1、F共面.
7、正方體A―C1中，設A1C與平面ABC1D1交于Q，求證：B、
Q、D1三點共線.
8、在三棱錐V―ABC中，D、E、F分別是VA、VB、VC上的點并且
=
.求證：直線DF、EG、AB共點.
空間兩條直線
〖知識點分布〗1、空間的平行直線；2、異面直線及其夾角；3、異面直線的距離。
〖考綱要求〗
1、了解空間兩條直線的位置關系；2、掌握異面直線所成的角與兩條異面直線互相垂直的概念；能運用上述知識進行論證和解決有關問題。對于異面直線的距離，只要求會利用給出的公垂線計算距離。
〖雙基回顧〗
1、公理4（平行線的傳遞性）：_____________ _________________________________.
2、等角定理：_________________________________________________________________________.
3、空間兩直線的位置關系：_____________________________________________________________.
4、異面直線：
（1）定義：______________________________________ __________________________.
（2）判定定理：_____________________________________________________________________.
（3）異面直線所成的角：①定義：____________________________________ _______________.
②取值范圍：___________________.
③兩條異面直線互相垂直：_____________________________________________.
④所成角的求法：法一：平移法：選點、平移、解三角形，注意取值范圍； 法二：向量法。
⑤異面直線的距離：
定義：__________________ ________.性質：兩條異面直線的公垂線有且只有一條。
〖課前訓練〗
1、異面直線是………………………………………………………………………………………（ ）
（A）同在某一個平面內的兩條直線。 （B）某平面內一條直線和這個平面外的一條直線。
（C）分別位于兩個不同平面內的兩條直線。（D）無交點且不共面的兩條直線。
2、（91全國）若把兩異面直線看成“一對”，則六棱錐的棱所在12條直線中，異面直線共有……（ ）
（A）12對 （B）24對 （C）36對 （D）48對
3、下列說法中，正確的是…………………………………………………………………………（ ）
①空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補。
②垂直于同一條直線的兩條直線平行。
③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線。
④若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線。
4、正方體ABCD―A1B1C1D1中，E、F分別是BB1和CC1的中點，則AE與BF所成的角余弦為 。
6、如圖正方體的棱長為a，那么
⑴與BA1異面的棱分別有 ；⑵BA1與CC1成角大小為 ；
⑶BA1與AA1成角大小為 ；⑷直線BC與AA1的距離 ；
〖典型例題分析〗
1、ABCD是邊長為1的正方形，O是中心，OP⊥平面ABCD，OP=2，M是OP中點.⑴求證：PC與BM是異
面直線；⑵求PC、BM所成角.
2、如圖，在棱長都為a的四面體中，E、F分別為AD、BC的中點。
（1）求證：EF是AD和BC的公垂線。
（2）求EF的長。
（3）求異面直線AF與CE所成的角。
 |
3、如圖，在棱長為1的正方體ABCD―A1B1C1D1中，O為側面ADD1A1的中心，
求：（1）B1O與BD所成角的大小。
（2）B1O與C1D1的距離。
4、如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成角的大小為arccos
，求BD與平面ADC所成的角。
〖課堂練習〗
1、已知直線a，如果直線b同時滿足以下三個條件：⑴與a異面；⑵與a成角為定值；⑶與a的距離為定值.那么這樣的直線b有 條.
2、已知異面直線a、b分別在平面a、b內，a∩b=c，那么c與a、b的關系為…………………（ ）
(A)與a、b都相交 (B)至少與a、b之一相交 (C)至多與a、b之一相交 (D)只能與a、b之一相交
3、（90年上海）設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是……………………（ ）
（A）經過直線a有且只有一個平面平行于直線b。（B）經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b。 （C）存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面。
（D）存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面。
4、（95年全國）如圖，A1B1C1?ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是…………………（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
〖能力測試〗 班級 .姓名
1、甲：a、b異面；乙：a、b無公共點，那么甲是乙的…………………………………………（ ）
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
2、a、b異面，那么下列結論正確的是……………………………………………………………（ ）
(A)過不在a、b上的點P一定可以作直線與a、b都相交
(B)過不在a、b上的點P一定可以作平面與a、b都垂直
(C)過a一定可以作一個平面與b垂直 (D)過a一定可以作一個平面與b平行
4、設有三條直線a、b、c，其中b和c是一對異面直線，如果三條直線可確定的平面個數是n個，則n可能取的值是………………………………………………………………………………（ ）。
（A）0，1 （B）1，2 （C）0，2 （D）0，1，2
5、已知A是△BCD所在平面外一點，E、F分別是BC和AD的中點，若BD⊥AC，且BD=AC，
則EF與BD所成的角等于________________.
6、正四棱錐P─ABCD的底面邊長和側棱長相等，E是PA的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值等于_______________。
7（96年全國）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面
成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是____________.
8、（2001年江西）在空間中，
①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線。
②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線。
以上兩個命題中，逆命題為真命題的是：___________________（把符合要求的命題序號都填上）。
9、如圖，長方體AC1中，AB=BC=2，AA1=1，E、F分別是A1B1、BB1的中點，求：
⑴EF、AD1所成角；
⑵A1D1、BC1的距離；
⑶AC1、B1C所成角.（提示：用空間向量知識）
空間的平行
〖考綱要求〗掌握直線與平面的平行的概念、性質、判定；平面與平面的平行的概念、性質、判定.
〖復習要求〗能運用直線與平面平行的性質定理、判定定理進行論證和解決有關問題. 能運用平面與平面平行的性質定理、判定定理進行論證和解決有關問題.
〖知識回顧〗
1、直線與平面平行的定義：
2、直線與平面平行的判定定理：
⑴線線平行
線面平行；⑵平面a∥b，直線aÌaa∥b
3、直線與平面平行的性質定理：
線面平行線線平行
4、兩個平面平行的判定定理：
⑴平行于同一平面的兩個平面平行；⑵垂直于同一直線的兩個平面平行.
⑶如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
5、兩個平面平行的性質定理：
⑴a∥β，a
aa∥β；
⑵a∥β，γ∩a=a，γ∩β=ba∥b.
⑶a∥β，a⊥aa⊥β；
⑷夾在平行平面間的平行線段相等.
⑸過平面外一點，能并且只能作一個平面與已知平面平行.
〖課前練習〗
1、直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內的…………………………………………（ ）
(A)一條直線不相交 (B)兩條直線不相交 (C)任意直線不相交 (D)無數直線不相交.
2、a、b表示平面，m、n表示直線，則m∥a的一個充分條件是………………………………（ ）
(A) a⊥b并且m⊥b (B) a∩b=n，m∥n (C) m∥n，n∥a (D) a∥b，mÌ.b
3、過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面………………………………………（ ）
(A) 不存在 (B) 只有一個 (C)有無數個 (D) 不能確定
4、如果一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面的位置關系是…………（ ）
(A)平行 (B)相交 (C)平行或者相交 (D)不能確定
5、下列命題正確的是………………………………………………………………………………（ ）
(A)如果兩個平面有三個公共點，那么它們重合
(B)過兩條異面直線中的一條可以作無數個平面與另一條直線平行
(C)在兩個平行平面中，一個平面內的任何直線都與另一個平面平行
(D)如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面中的兩條直線平行
6、給出命題：⑴垂直于同一直線的兩個平面平行；⑵平行于同一直線的兩個平面平行；⑶垂直于同一平面的兩個平面平行；⑷平行于同一平面的兩個平面平行；其中正確命題個數有…（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7、 ⑴過兩條異面直線中的一條和另一條平行的平面有 個.
⑵過兩條平行直線中的一條和另一條平行的平面有 個.
〖典型例題〗
1、a∩b=l，a∥a，a∥b，求證：a∥l.
2、正方體AC1中，M、N分別為A1B1、A1D1的中點，E、F分別是B1C1、
C1D1的中點.
⑴求證：E、F、B、D共面；⑵求證：平面AMN∥平面EFDB.
3、直三棱柱ABC―A1B1C1中，過A1、B、C1的平面與平面ABC交于直線l. ⑴確定l與A1C1的位置關系； ⑵如果AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90度，求A1到l的距離.
4、如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形. ⑴求證：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角為a，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH面積的最大值.
〖課堂練習〗
1、已知a、b、c是三條不重合直線，a、b、g是三個不重合的平面，下列命題：
⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥g，b∥ga∥b；⑶c∥a，c∥ba∥b；
⑷g∥a，b∥aa∥b；⑸a∥c，a∥ca∥a；⑹a∥g，a∥ga∥a.
其中正確的命題是…………………………………………………………………………………（ ）
(A)⑴、⑷、 (B) ⑴、⑷、⑸ (C)⑴、⑵、⑶ (D)⑵、⑷、⑹
2、平面M上有不共線的三點到平面N的距離相等，那么平面M、N的關系為……………………（ ）
(A) 平行 (B)重合 (C)平行或者重合 (D)不能確定
3、a、b異面，a⊥平面M，b⊥平面N，那么平面M、N的位置關系是…………………………（ ）
(A) 平行 (B)重合 (C)相交 (D)不能確定
4、直線a平面a，那么平面M∥平面a是直線a∥M的…………………………………………（ ）
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
5、在空間，下列命題正確的是………………………………………………………………………（ ）
(A)如果兩條直線a、b與直線c成等角，那么a∥b.
(B)如果兩條直線a、b與平面M成等角，那么a∥b.
(C)如果直線a平面M、N成等角，那么M∥N.
(D)如果平面P與平面M、N成等角，那么M∥N.
6、直線a∥直線b，a∥平面a，那么b與a的關系為 .
〖能力測試〗 姓名 得分 .
1、設直線a平面a，命題甲：平面a∥b；命題乙：直線a∥b，那么甲是乙的………………（ ）
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
2、a、b是異面直線，P是a、b外任意一點，下列結論正確的是………………………………（ ）
(A)過P可以作一個平面與a、b都平行 (B)過P可以作一個平面與a、b都垂直
(C)過P可以作一直線與a、b都平行 (D)過P可以作一直線與a、b成等角.
3、下列命題：
⑴直線上有兩點到平面距離相等，那么直線與平面平行
⑵夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行與這兩個平面
⑶直線m⊥平面a，直線n ⊥m，那么直線n∥a
⑷a、b是異面直線，則存在唯一的平面a，使它與a、b平行并且距離相等.
其中正確的命題是…………………………………………………………………………………（ ）
(A)⑴與⑵ (B) ⑵與⑶ (C)⑶與⑷ (D)⑵與⑷
4、兩個平面距離12cm，一條直線與它們成60
，則該直線被夾在這兩個平面間的線段長為
.
6、AC、BD是夾在兩個平行平面M、N間的兩條線段，AC=13，BD=15，AC與BD在平面M內的射影長度之和為14，那么平面M、N的距離為 .
7、如圖，兩個全等的正方形ABCD與ABEF，M∈AE，N∈BD，并
且AM=DN，求證：MN∥平面BCE
空間的垂直關系
〖考綱要求〗掌握直線與平面的垂直的概念、性質、判定，掌握兩個平面的位置關系，能運用兩平面垂直的性質與判定進行論證和解決有關問題..
〖復習要求〗能運用直線與平面垂直的性質定理、判定定理進行論證和解決有關問題，熟練掌握兩個平面的位置關系及其有關概念，會用兩個平面垂直的定義、判定定理、性質定理進行計算和證明.
〖知識回顧〗
1、直線與平面垂直的定義：
2、直線與平面垂直的判定定理：
⑴定義； ⑵直線與平面內的兩條相交直線垂直； ⑶a∥b，a⊥ab⊥a
3、直線與平面垂直的性質定理：a⊥a且b⊥aa∥b
4、特殊結論：
過一點有并且只有一條直線與已知平面垂直；過一點有并且只有一個平面與已知直線垂直.
5、兩個平面垂直的判定：
⑴定義； ⑵判定定理：如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
⑶如果一個平面和另一個平面的平行線垂直，那么這兩個平面垂直.
6、兩個平面垂直的性質：
⑴兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.
⑵兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.
〖課前練習〗
1、直線l與平面內a的兩條直線都垂直，那么l與a關系是………………………………………（ ）
(A)垂直 (B)平行 (C)斜交 (D)不能確定.
2、“直線l與平面內a的無數直線都垂直”是“l⊥a”的………………………………………（ ）
(A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件
5、過平面M 外的一條斜線a作平面N垂直于M，這樣的平面N個數為……………………（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)無數
6、過平面M外A、B兩點有無數個平面與平面M垂直，那么………………………………（ ）
(A)AB∥M (B)AB與M成60度角
(C)AB⊥M (D)A、B到M等距離
〖典型例題〗
1、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、
PC中點，求證：AB⊥MN.
2、在四面體S―ABC中，如果SA=SB=SC=a，∠BSC=90，∠ASC=∠ASB=60º，求證：平面SBC⊥平面ABC
3、平行六面體A―C1中，各個面都是全等的菱形，求證：面ACC1A1⊥面BDD1B1.
4、如圖，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，并且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA.
(B)5
(C)3
(D) 2
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件 
∥
、
、共面向量、直線的方向向量的定義。
，則把
叫空間的一個基底，
叫基向量。
在軸l上的射影：
．
(C)
(D)
,4,－1) (B) (2,3,1) (C)(－3,1,5) (D)(5,13,－3)
、
滿足 |
|=|
|，則
（2003遼寧高考題）已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，
3、（廣州2004屆天河試卷）正三棱柱A―C1，底面邊長AB=2，AB1⊥BC1，點O、O1分別是AC、A1C1的中點，建立如圖所示空間直角坐標系。
的長方形ABCD沿對角線AC折成60°的二面角。
