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遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈5：

應(yīng)用型問題

    數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化,這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,這當(dāng)中,函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應(yīng)在復(fù)課時(shí)引起重視.

    例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時(shí)開放健身房和娛樂室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？

講解: 引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型.

設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為a_n，去娛樂室的人數(shù)為b_n，則.

.

，于是

即      .

.故隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.

上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習(xí)題（代數(shù)下冊(cè)P.132第34題）

已知數(shù)列的項(xiàng)滿足

其中，證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

有趣的是, 用此模型可以解決許多實(shí)際應(yīng)用題, 特別, 2002年全國(guó)高考解答題中的應(yīng)用題(下文例9)就屬此類模型.

    例2 某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米/小時(shí)（4≤V≤20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時(shí)（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛?cè)ィ�在同一天�?6時(shí)至21時(shí)到達(dá)C市, 設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x小時(shí)、y小時(shí)，若所需經(jīng)費(fèi)元，那么V、W分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi).

    講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解.

由于又

則z最大時(shí)P最小.

作出可行域，可知過點(diǎn)（10，4）時(shí), z有最大值38，

    ∴P有最小值93，這時(shí)V=12.5，W=30.

    視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法.

    例3 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.

講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.

由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a₁，a₂，…, a₂₅小時(shí)，依題意它們組成公差（小時(shí)）的等差數(shù)列，且

，化簡(jiǎn)可得.

解得.

可見a₁的工作時(shí)間可以滿足要求，即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成.

對(duì)照此題與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用題, 你一定會(huì)感覺二者的解法是大同小異的. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈4：

開放型問題

        數(shù)學(xué)開放性問題是近年來高考命題的一個(gè)新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計(jì)型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標(biāo),那么就稱為結(jié)論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.

例 1 設(shè)等比數(shù)列的公比為  ，前 項(xiàng)和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng)  明 理 由.

   講解 存在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深化解題進(jìn)程的.

   設(shè)存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列.

     (i) 當(dāng)  時(shí)， 代入上式得

          即=0

但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列.

     (ii) 當(dāng) 時(shí)，， 代 入 上 式 得

    .

       綜 上 可 知 ,  存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列.

   等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !

例2  某機(jī)床廠今年年初用98萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利（盈利額為正值）；

 (3 ) 使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：

 (i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬元價(jià)格處理該機(jī)床；

     (ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬元價(jià)格處理該機(jī)床，問用哪種方案處理較為合算？請(qǐng)說明你的理由.

講解 本例兼顧應(yīng)用性和開放性, 是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問題.

   （1）

            =.                                    

   （2）解不等式  ＞0,

得       ＜x＜.

∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.

故從第3年工廠開始盈利.

（3）(i) ∵　≤40

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=7時(shí)，等號(hào)成立.

∴　到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元.

(ii)　　y=-2x²+40x-98= -2（x-10）² +102，

當(dāng)x=10時(shí)，y_max=102.

故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈3：

代數(shù)推理

數(shù)學(xué)是“教會(huì)年輕人思考”的科學(xué), 針對(duì)代數(shù)推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時(shí)將函數(shù)與方程, 數(shù)形結(jié)合, 分類與討論, 等價(jià)與化歸等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)的解題訓(xùn)練過程當(dāng)中.

    例1  設(shè)函數(shù)，已知，時(shí)恒有，求a的取值范圍.

     講解: 由

         ,

從而只要求直線L不在半圓C下方時(shí), 直線L 的y截距的最小值.

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于 關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進(jìn)而通過解幾模型進(jìn)行推理解題, 當(dāng)中, 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性.

還須指出的是: 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請(qǐng)三思而后行.

    例2 已知不等式對(duì)于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍.

    講解: 構(gòu)造函數(shù)，易證(請(qǐng)思考:用什么方法證明呢?)為增函數(shù).

    ∵n是大于1的 正整數(shù)，

對(duì)一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須,

即

這里的構(gòu)造函數(shù)和例1屬于同類型, 學(xué)習(xí)解題就應(yīng)當(dāng)在解題活動(dòng)的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結(jié)一些解題的小結(jié)論. 針對(duì)恒成立的問題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請(qǐng)?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論.

    例3  已知函數(shù)在區(qū)間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.

    講解: 由已知二次函數(shù)配方, 得

     時(shí)，的最大值為4b²+3=25. 

      上遞增，

      上遞增，

         .

       關(guān)于二次函數(shù)問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復(fù)課時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練. 針對(duì)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在不在區(qū)間[－b，1－b], 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數(shù)學(xué)思想在解題當(dāng)中的充分運(yùn)用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學(xué)問題而定, 需要在解題時(shí)靈活把握.

   例4已知

    的單調(diào)區(qū)間；

    （2）若

    講解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形  , 得 ,

    （2）首先證明任意

事實(shí)上,

     而

      .

     函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題  型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值.. 針對(duì)本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!

     例5  已知函數(shù)f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱．?

(2) 令a_n＝，對(duì)一切自然數(shù)n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然數(shù)a,并證明之．?

(3) 求證：∈Ｎ).

講解: (1)關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點(diǎn)P對(duì)稱, 可采用解幾中的坐標(biāo)證法.

設(shè)M(x,y)是f(x)圖象上任一點(diǎn)，則M關(guān)于P()的對(duì)稱點(diǎn)為M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱.?

(2)將f(n)、f(1-n)的表達(dá)式代入a_n的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．?

設(shè)n=k(k≥２)時(shí)，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n個(gè)同向不等式，并相加得：

函數(shù)與數(shù)列綜合型問題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.針對(duì)本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學(xué)猜想能力.

    例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為x₁和x₂.

   （1）如果，若函數(shù)的對(duì)稱軸為x=x₀，求證：x₀＞－1；

   （2）如果，求b的取值范圍.

講解:（1）設(shè)，由得, 即

            ，

故；

（2）由同號(hào).

①若.

又，負(fù)根舍去）代入上式得

，解得；

②若 即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

    故當(dāng)

    對(duì)你而言, 本例解題思維的障礙點(diǎn)在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會(huì)很順利的克服嗎? 我們力求做到學(xué)一題會(huì)一類, 不斷提高邏輯推理能力.

   例7 對(duì)于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且

   （1）求函數(shù)的解析式；

   （2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；

   （3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.

  講解:  依題意有,化簡(jiǎn)為 由違達(dá)定理, 得

解得 代入表達(dá)式，由

得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

（2）由題設(shè)得     （*）

且          （**）

由（*）與（**）兩式相減得：

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，；

  （3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知

,有

，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.

  關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上:

  由得<0或

  結(jié)論成立；

  若，此時(shí)從而即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.

     比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長(zhǎng)進(jìn).

    例8 設(shè)a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點(diǎn)

 （a，b）映射為函數(shù)

   （1）證明：不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)；

   （2）證明：當(dāng)，這里t為常數(shù)；

   （3）對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值，得，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象.

    講解: （1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，

即 對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立.

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，假設(shè)不成立

故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù).

（2）當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)a₀，b₀，使

=

由于為常數(shù)，設(shè)是常數(shù).

從而.

（3）設(shè)，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），則M₁的原象是

.

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

    本題將集合, 映射, 函數(shù)綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識(shí)”的好題目, 具有很強(qiáng)的訓(xùn)練價(jià)值.

例9  已知函數(shù)f(t)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）證明：對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t；

   （3）試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個(gè)數(shù)，并說明理由.

講解 （1）為求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是對(duì)于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面證明當(dāng)整數(shù).

(※)得

即……，

將諸不等式相加得

   .

綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1，.

本題的求解顯示了對(duì)函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國(guó)高考第（21）題中得到了很好的考查.

例10  已知函數(shù)f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有．

（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數(shù)；

（2）對(duì)數(shù)列求；

（3）求證

    講解  （1）令則

            令則 為奇函數(shù). 

   （2）， 

    是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

  （3）

 而  

    本例將函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等代數(shù)知識(shí)集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當(dāng)中，化歸出等比（等差）數(shù)列是數(shù)列問題常用的解題方法.

試題詳情