為 從而只要算出四棱錐的高就行了.  面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.
而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tg60°= a,  . （2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形. 作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE，  是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC，
 在 故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°. 本小題主要考查線面關系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設計新穎,
特征鮮明的好題.
（1）求證：AB1⊥平面CED； （2）求異面直線AB1與CD之間的距離； （3）求二面角B1―AC―B的平面角. 講解:（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA
∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 ∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段 ∵CE= ，AC=1 , ∴CD= ∴ ； （3）連結B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1, ∴∠B1AC=600 ∴ ， ∴ , ∴  , ∴ . 作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當然, 準確地作出應當有嚴格的邏輯推理作為基石. 例3 如圖a―l― 是120°的二面角，A，B兩點在棱上，AB=2，D在 內，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內， ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I）
求三棱錐D―ABC的體積； （2）求二面角D―AC―B的大小； （3）求異面直線AB、CD所成的角.  
講解: (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強OA并延長至E.  為二面角a―l―的平面角.  .
 是等腰直角三角形，斜邊AB=2. 又D到平面的距離DO=
（2）過O在內作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且  （3）在平在內，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,  異面直線AB,CD所成的角為arctg
比較例2與例3解法的異同, 你會得出怎樣的啟示? 想想看. 例4
圖①
圖② 講解: 設容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為 , 
 .
當且僅當
 . 故當容器的高為 時，容器的容積最大，其最大容積為 對學過導數的同學來講，三次函數的最值問題用導數求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數學壓軸題有關，還請做做對照. 類似的問題是: 某企業設計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最省（即容器的表面積最小）.  例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E． （1）求證：AP⊥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐 P―ABC所成兩部分的體積比． 講解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D為AC的中點，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又 DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,  故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1 值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應為兩個, 希不要犯這種”會而不全”的錯誤. 例6 已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離） 為p的拋物線.
|
|
（1）求圓錐的母線與底面所成的角； （2）求圓錐的全面積．
講解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l， 由題意得： , 即 , 所以母線和底面所成的角為 （2）設截面與圓錐側面的交線為MON，其中O為截面與 AC的交點，則OO1//AB且 在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，則O為拋物的頂點，所以拋物線方程為x2=－2py，點N的坐標為（R，－R），代入方程得 R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p. ∴圓錐的全面積為 . 將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向.
類似請思考如下問題:  一圓柱被一平面所截，截口是一個橢圓．已知橢圓的
長軸長為5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側面母 線長為1，則該幾何體的體積等于
． 例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分別為EB和AB的中點.
（2）求證：AF⊥BD； (3) 求二面角B―FC―G的正切值. 講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點， ∴FG= EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC， ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角. 易求 . 例8 如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點，且  D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求證PQ∥平面CDD1C1； (2) 求證PQ⊥AD； (3) 求線段PQ的長. 講解:
（1）在平面AD1內，作PP1∥AD與DD1交于點P1，在平面AC內，作 QQ1∥BC交CD于點Q1，連結P1Q1. ∵  ,
∴PP1 QQ1 .? 由四邊形PQQ1P1為平行四邊形, 知PQ∥P1Q1? ? 而P1Q1 平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1? （2）AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，? 又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ.? （3）由（1）知P1Q1 PQ,  ，而棱長CD=1. ∴DQ1= . 同理可求得 P1D= .
在Rt△P1DQ1中，應用勾股定理, 立得 P1Q1= .? 做為本題的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD, 上的動點,試求 的最小值, 你能夠應用函數方法計算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對照, 你會得到什么啟示? 如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=  （1）
求MN的長； （2）
當為何值時，MN的長最小； （3）
當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。 
立體幾何知識是復課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點, 依據課本, 熟化知識, 構建空間思維網絡, 掌握解三角形的基本工具, 嚴密規范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關. 試題詳情
2008年11月 綿陽南山中學2008年秋季高2010 級半期考試 化學試題
命題：張明盛 審核：卿明華 可能用到的相對原子質量： H
1 O 16 Al 27 第I 卷（選擇題，共50 分） 試題詳情
遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈6： 幾何題 高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于AT，使 垂直且等于BT， 交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系. (1)寫出直線的方程；
（2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q. 講解: 通過讀圖, 看出 點的坐標. (1 ) 顯然 ,  于是 直線 的方程為 ； （2）由方程組  解出  、 ；
（3） ,  . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q. 需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎? 例2 已知直線l與橢圓 有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程． 講解：從直線 所處的位置, 設出直線的方程, 由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為 代入橢圓方程 得
 化簡后，得關于 的一元二次方程
 于是其判別式 由已知，得△=0．即 ① 在直線方程 中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點P的坐標為（x，y），
由已知，得 代入①式并整理，得  , 即為所求頂點P的軌跡方程． 方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線 的離心率 ，過 的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線 交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 講解：∵（1） 原點到直線AB： 的距離 . 故所求雙曲線方程為  （2）把 中消去y，整理得  . 設 的中點是 ，則   即 故所求k=± . 為了求出 的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12． （1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程． 講解：（1）設 , 對 由余弦定理, 得 
 ， 解出
 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為 ………………① 橢圓方程為 由 得  . 于是橢圓方程可轉化為
 ………………② 將①代入②，消去 得  , 整理為的一元二次方程，得  . 則x1、x2是上述方程的兩根．且  ，
也可這樣求解： 
  AB邊上的高
 ii) 當k不存在時，把直線 代入橢圓方程得 
由①②知S的最大值為 由題意得 =12 所以  故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優劣： 設過左焦點的直線方程為： …………① （這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.） 橢圓的方程為： 由 得： 于是橢圓方程可化為： ……② 把①代入②并整理得： 于是 是上述方程的兩根.    ,
AB邊上的高 , 從而  當且僅當m=0取等號，即
由題意知 , 于是  .
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線 與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線 上. （１）求此橢圓的離心率； （2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓 上，求此橢圓的方程. 講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得   ,
根據韋達定理，得  ∴線段AB的中點坐標為（ ）. 由已知得 故橢圓的離心率為 . （2）由（1）知 從而橢圓的右焦點坐標為 設 關于直線的對稱點為 解得  由已知得
 故所求的橢圓方程為 . 例6 已知⊙M： 軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點， （1）如果 ，求直線MQ的方程； （2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.  講解:（1）由，可得 由射影定理，得  在Rt△MOQ中，
 ， 故 ， 所以直線AB方程是 
（2）連接MB，MQ，設 由 點M，P，Q在一直線上，得  由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，并注意到 ，可得 
適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙. 例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變. （1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程； （2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設 ，
試確定實數 的取值范圍． 講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 .
 ∵|
PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
C 
A O
B ∵
∴曲線E的方程是  . （2）設直線L的方程為  , 代入曲線E的方程 ，得  設M1（ , 則
① ② ③ i) L與y軸重合時，
ii) L與y軸不重合時， 由①得  又∵ , ∵ 或  ∴0＜＜1 ,
∴ .
∵ 而 ∴ ∴  ∴  ,  , 
∴的取值范圍是 . 值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕.
例8 直線過拋物線 的焦點，且與拋物線相交于A 兩點. （1）求證： ; （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點 . 若l⊥x軸，則l的方程為 . 若l不垂直于x軸，可設 ,代入拋物線方程整理得
 . 綜上可知 . （2）設 ，則CD的垂直平分線 的方程為 假設過F，則 整理得    ， .
這時的方程為y=0，從而與拋物線 只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線. 此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！ 例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？ 講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即
|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,   ,
∴M在雙曲線 的右支上. 故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工. 相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？ 解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現在重視能力立意, 強調思維空間, 是用活題考死知識的典范. 考題求解時考查了等價轉化, 數形結合,
分類討論, 函數與方程等數學思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數法, 參數法, 判別式法等數學通法. 試題詳情
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