Question

【題目】如圖所示，光滑四分之一圓弧軌道P與木板Q在連接點(diǎn)A處通過一大小不計(jì)的感應(yīng)開關(guān)連接(當(dāng)滑塊向右滑過A時(shí)，P、Q自動(dòng)分離)。初始所有的物體均靜止在光滑的水平地面上，滑塊N從木板Q的右側(cè)邊緣處以v0=10m/s的初速度水平向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A處時(shí)速度減小為v1=6m/s，接著滑上圓弧軌道P且恰好能到達(dá)P的最高點(diǎn)。滑塊到達(dá)P的最高點(diǎn)時(shí)(物塊未離開P)P在O點(diǎn)與物塊K發(fā)生彈性碰撞，最后滑塊停在木板上。滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，圓弧軌道的質(zhì)量為3kg，木板與滑塊的質(zhì)量均為1kg，物塊K的質(zhì)量為5kg，重力加速度大小g=10m/s2，N可視為質(zhì)點(diǎn)。求：

（1）木板的長度L；

（2）圓弧軌道的半徑R；

（3）滑塊與木板相對(duì)靜止時(shí)，木板左端離O點(diǎn)的距離。

Answer 1

【答案】（1）30m；（2）1m；（3）1.425m

【解析】

(1)滑塊、木板、圓弧軌道、物塊的質(zhì)量分別用m、MQ、MP、MK表示，滑塊在木板Q上滑動(dòng)的過程中，把P、Q和滑塊作為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)滑塊離開木板時(shí)，木板的速度為

根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

解得

滑塊在木板Q上滑動(dòng)的過程中，把P、Q和滑塊作為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)減少的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量，設(shè)木板的長度為L，根據(jù)功能關(guān)系有

解得

L=30m

(2)從滑塊滑上圓弧軌道到圓弧軌道最高點(diǎn)的過程中，滑塊和P、Q組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒且機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

解得

R=1m

(3) P與K發(fā)生彈性碰撞，碰后滑塊和P、Q瞬間共速，速度設(shè)為，K的速度為。根據(jù)彈性碰撞的特點(diǎn)，有

解得

以滑塊在最高點(diǎn)為初狀態(tài)，滑塊滑回A為末狀態(tài)，設(shè)滑回A處時(shí)滑塊的速度大小為、P、Q的速度大小為，滑塊和P、Q的位移大小分別為x1和x2，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和反沖，有

解得

滑塊滑回A時(shí)P、Q分離，將滑塊和木板看作一個(gè)系統(tǒng)，相對(duì)靜止時(shí)的速度設(shè)為，滑塊滑回A到相對(duì)靜止時(shí)木板的位移為，滑塊與木板相對(duì)靜止時(shí)木板離O點(diǎn)的距離為x，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有

根據(jù)動(dòng)能定理，有

根據(jù)位置關(guān)系，可知

解得

x=1. 425m