Question

【題目】香港迪士尼游樂園入口旁有一噴泉，在水泵作用下會(huì)從鯨魚模型背部噴出豎直向上的水柱，將站在沖浪板上的米老鼠模型托起，穩(wěn)定地懸停在空中，伴隨著音樂旋律，米老鼠模型能夠上下運(yùn)動(dòng)，引人駐足，如圖所示。這一景觀可做如下簡(jiǎn)化，假設(shè)水柱以一定的速度從噴口豎直向上噴出，水柱的流量為Q（流量定義：在單位時(shí)間內(nèi)向上通過(guò)水柱橫截面的水的體積），設(shè)同一高度水柱橫截面上各處水的速率都相同，沖浪板底部為平板且其面積大于水柱的橫截面積，保證所有水都能噴到?jīng)_浪板的底部。水柱沖擊沖浪板前其水平方向的速度可忽略不計(jì)，沖擊沖浪板后，水在豎直方向的速度立即變?yōu)榱悖�在水平方向朝四周均勻散開。已知米老鼠模型和沖浪板的總質(zhì)量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滯阻力均可忽略不計(jì)。

（1）求噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（2）由于水柱頂部的水與沖浪板相互作用的時(shí)間很短，因此在分析水對(duì)沖浪板的作用力時(shí)可忽略這部分水所受的重力。試計(jì)算米老鼠模型在空中懸停時(shí)，水到達(dá)沖浪板底部的速度大小；

（3）要使米老鼠模型在空中懸停的高度發(fā)生變化，需調(diào)整水泵對(duì)水做功的功率。水泵對(duì)水做功的功率定義為單位時(shí)間內(nèi)從噴口噴出的水的動(dòng)能。請(qǐng)根據(jù)第（2）問中的計(jì)算結(jié)果，推導(dǎo)沖浪板底部距離噴口的高度h與水泵對(duì)水做功的功率P0之間的關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)很短時(shí)間內(nèi)，從噴口噴出的水的體積為△V，質(zhì)量為△m，水柱在噴口的初速度為v0，噴口的橫截面積為S。

則：…（1分）…（1分）

解得單位時(shí)間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量為 （1分）

（2）設(shè)米老鼠模型和沖浪板在空中懸停時(shí)，水柱頂部的水沖擊沖浪板底面速度由v變?yōu)?，時(shí)間這些水對(duì)板的作用力的大小為F′，板對(duì)水的作用力的大小為F，以向下為正方向，不考慮水柱頂部水的重力，根據(jù)動(dòng)量定理有：…（1分）根據(jù)牛頓第三定律：F= F′…（1分）

由于米老鼠模型在空中懸停，根據(jù)力平衡條件得：（1分）聯(lián)立可解得： （1分）

（3）設(shè)米老鼠模型和沖浪板懸停時(shí)其底面距離噴口的高度為h，對(duì)于時(shí)間內(nèi)噴出的水，根據(jù)機(jī)械能守恒定律（或運(yùn)動(dòng)學(xué)公式）得：……（1分）

水泵對(duì)水做功的功率為：（1分）聯(lián)立解得： （1分）