Question

【題目】己知函數.

（1）當時，求的單調區間和極值；

（2）討論的零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當或時，有1個零點；當且時，有2個零點.

【解析】

（1）利用導數證明函數的單調性以及即可；

（2）對參數的值進行分類討論，確定函數的單調性，結合零點存在性定理判斷零點的個數.

（1）的定義域為，

則在上單調遞增

又，所以當時，

當時，

即的單調遞減區間為，單調遞增區間為

故的極小值為，無極大值

（2）當時，由（1）知

故僅有一個零點；

當時，，令；

令，所以在上單調遞增；

令，所以在上單調遞減，且，，

所以，最小值與0的比較等價于與0的大小比較，

所以分三類進行討論：

①當時，即時，由在上單調遞減及在上單調遞增，且，

由零點存在定理，得在上存在唯一零點，設為所以

				0
		0		0
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又及

由零點存在定理，得在上存在唯一零點，設為，

綜上，當時，在上存在2個零點（一個為，一個為）；

②當時，即時，由在上單調遞減及在上單調遞增，

且，得在上單調遞增，

故在上只有一個零點；

③當時，同理可得在上存在2個零點：一個為，一個為

綜上可得，當或時，有1個零點；

當且時，有2個零點.