Question

【題目】已知直線，點(diǎn)，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍.記動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，若（是坐標(biāo)系原點(diǎn)）的面積為，求直線的方程；

（3）若（2）中過點(diǎn)的直線是傾斜角不為0的任意直線，仍記與曲線的交點(diǎn)為、，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線或；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，化簡可得曲線的方程.

（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出的面積，易判斷是否成立. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由方程組消元，韋達(dá)定理可求弦長，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，可求值，即可求直線的方程.

（3）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況. 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求的值. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線.由（2）中的結(jié)論可得點(diǎn)的坐標(biāo)，可寫出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo).最后用向量的方法求的值.

（1）根據(jù)題意，可知，，

化簡得.

.

（2）因?yàn)橹本�過焦點(diǎn)，故直線與橢圓總交于、兩點(diǎn).

若直線與軸垂直，可算得，，不滿足條件.

于是，所求直線的斜率存在.

設(shè)直線的斜率為，即.

聯(lián)立方程組，得（此時(shí)恒成立）.

，

點(diǎn)到的距離為.

，

化簡得，即

解得.

所求直線或（或表示為一般式方程）.

（3）若直線的斜率不存在，即垂直軸，

根據(jù)橢圓的對稱性，知點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，此時(shí)，有.

若直線的斜率存在，設(shè).

由（2）可得，

.

直線的傾斜角不為零，.

直線.

.

方法1：算得.又直線方向向量為，

且..

.（多想少算）

綜上，不論直線的斜率存在與否，總有.

方法2：算得，與的交點(diǎn)為，.

可得向量與的夾角滿足，

即，，.

綜上，不論直線的斜率存在與否，總有.