【題目】為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（1）據圖估計該校學生每周平均體育運動時間．并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數；
（2）規定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優秀”，否則為“非優秀”，在樣本數據中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列
列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優秀”與年級有關”．
基礎年級 | 高三 | 合計 | |
優秀 | |||
非優秀 | |||
合計 | 300 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附：K2
，n＝a+b+c+d．
【答案】（1）運動時間5.8小時，人數30人 （2）見解析
【解析】
（1）由頻率直方圖求出各組頻率，利用平均數公式計算平均體育運動時間，再利用分層抽樣中的比例計算高一年級的總人數，再由頻率直方圖前兩組頻率計算高一每周平均體育運動時間不足4小時的人數；
（2）由題意得到列聯表，計算出臨界值，可得結論．
（1）該校學生每周平均體育運動時間
高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數:
（2）列聯表如下：
基礎年級 | 高三 | 合計 | |
優秀 | 105 | 30 | 135 |
非優秀 | 105 | 60 | 165 |
合計 | 210 | 90 | 300 |
假設該校學生的每周平均體育運動時間是否優秀與年級無關，
則
又
.
所以有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優秀”與年級有關”．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率是40％．現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下10組隨機數：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱柱
的底面為菱形， 
， 
， 
為
中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
底面
，且直線
與平面
所成線面角的正弦值為
，求
的長.
【答案】(1)證明見解析；(2)2.
【解析】試題分析：（1）設
為
的中點，根據平幾知識可得四邊形
是平行四邊形，即得
，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面
一個法向量，根據向量數量積求向量夾角，再根據線面角與向量夾角互余關系列等式，解得
的長.
試題解析：（1）證明：設
為
的中點，連
因為
，又
，所以
，
所以四邊形
是平行四邊形，
所以
又
平面
， 
平面
，
所以
平面
.
（2）因為
是菱形，且
，
所以
是等邊三角形
取
中點
，則
，
因為
平面
，
所以
， 
建立如圖的空間直角坐標系，令
，
則
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
設平面
的一個法向量為
，
則
且
，
取
，設直線
與平面
所成角為
，
則
，
解得
，故線段
的長為2.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】橢圓
:
的左、右焦點分別為
、
，若橢圓過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
為橢圓的左、右頂點， 
（
）為橢圓上一動點，設直線
分別交直線
： 
于點
，判斷線段
為直徑的圓是否經過定點，若是，求出該定點坐標；若不恒過定點，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點為
，離心率為
．
(1)求橢圓
的方程；
(2)設點
是橢圓
的右頂點，過點
的直線與橢圓
交于
， 
兩點，直線
， 
與直線
分別交于
， 
兩點．求證：點
在以
為直徑的圓上．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的一個焦點為
，點
在橢圓
上．
（Ⅰ）求橢圓
的方程與離心率；
（Ⅱ）設橢圓
上不與
點重合的兩點
， 
關于原點
對稱，直線
， 
分別交
軸于
， 
兩點．求證：以
為直徑的圓被
軸截得的弦長是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
,在梯形
中, 
于
, 
.將
沿
折起至
,使得平面
平面
（如圖2）, 
為線段
上一點.
圖1 圖2
（Ⅰ）求證: 
；
（Ⅱ）若
為線段
中點,求多面體
與多面體
的體積之比；
（Ⅲ）是否存在一點
,使得
平面
?若存在,求
的長.若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學導師計劃從自己所培養的研究生甲、乙兩人中選一人，參加雄安新區某部門組織的計算機技能大賽，兩人以往5次的比賽成績統計如下：（滿分100分，單位：分）.
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲的成績 | 87 | 87 | 84 | 100 | 92 |
乙的成績 | 100 | 80 | 85 | 95 | 90 |
（1）試比較甲、乙二人誰的成績更穩定；
（2）在一次考試中若兩人成績之差的絕對值不大于2，則稱兩人“實力相當”.若從上述5次成績中任意抽取2次，求恰有一次兩人“實力相當”的概率.
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