Question

【題目】設集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是單元素集合，若存在a＜0，b＜0使點P∈{（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，則點P所在的區域的面積為 ．

Answer 1

【答案】2π
【解析】解：集合A={（x，y）|y=x2+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是一個單元素集合， ∴直線和拋物線相切，
∴由x2+2bx+1=2a（x+b），即x2+2（b﹣a）x+1﹣2ab=0，有相等的實根，所以△=0即a2+b2=1，
∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤1}，
∴圓心在以原點為圓心，以1為半徑的圓上的一部分（第三象限）
∴如圖所示，集合P中圓的邊界的移動是半徑為1的圓的邊界的移動就是沿著那個半徑為2的那個 圓弧上，
∴集合P的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的 ，
∴集合C的面積=π+π=2π，
所以答案是：2π．

【考點精析】認真審題，首先需要了解定積分的概念(定積分的值是一個常數，可正、可負、可為零；用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限)．