Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線上一點的極坐標為，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設點在上，點在上（異于極點），若四點依次在同一條直線上，且成等比數列，求的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）先根據平方關系消元得曲線的直角坐標方程，再根據將直角坐標方程化為極坐標方程，最后代入點極坐標，可求出的值，進而得出答案；

（2）先設直線的極坐標方程為，代入，根據成等比數列得，代入化簡可得，進而可得出答案.

（1）曲線的直角坐標方程為，化簡得，

又，，所以.

代入點，可得，解得或，

因為，所以，所以曲線的極坐標方程為.

（2）由題意，可設直線的極坐標方程為，設點，則.

聯立，得，所以，.

聯立，得.

因為成等比數列，所以，即.

所以，解得.

所以的極坐標方程為或.