Question

【題目】已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，試探求，，的關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，，成等差數(shù)列，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，得到，從而得到橢圓的長(zhǎng)軸和焦距，求出橢圓的方程；（2）當(dāng)斜率為時(shí)，得到，當(dāng)斜率不為，設(shè)的方程設(shè)為，與橢圓聯(lián)立，得到，，再表示出并進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，從而得到結(jié)論.

(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.

則，.

兩式相加得，

由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，

焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

即，，所以

的橢圓其方程為.

(2)設(shè)，，，

若斜率為，則，，

得，，，所以，

故猜想，，成等差數(shù)列，

設(shè)直線的方程設(shè)為，

由，消去得，

則有，，

，，，

，

又，，所以，，

所以

，

，

所以可以得到，，

所以，綜上所述，，，成等差數(shù)列.