Question

【題目】2019年國慶節(jié)假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計(jì)了10月1日7：00﹣23：00這一時(shí)間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時(shí)刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段7：0011：00，11：0015：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求該天顧客購買商品時(shí)刻的中位數(shù)t與平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）由頻率分布直方圖可以近似認(rèn)為國慶節(jié)假期期間該商場顧客購買商品時(shí)刻服從正態(tài)分布N（μ，δ2），其中μ近似為，δ＝3.6，估計(jì)2019年國慶節(jié)假期期間（10月1日﹣10月7日）該商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的總?cè)舜危ńY(jié)果保留整數(shù)）；

（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場根據(jù)題中的4個(gè)時(shí)間段分組，采用分層抽樣的方法從這5000個(gè)樣本中隨機(jī)抽取10個(gè)樣本（假設(shè)這10個(gè)樣本為10個(gè)不同顧客）作為幸運(yùn)客戶，再從這10個(gè)幸運(yùn)客戶中隨機(jī)抽取4人每人獎(jiǎng)勵(lì)500元購物券，其他幸運(yùn)客戶每人獎(jiǎng)勵(lì)200元購物券，記獲得500元購物券的4人中在15：00﹣19：00之間購買商品的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

參考數(shù)據(jù)：若T～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973.

Answer 1

【答案】（1）16,15.8；（2）23895；（3）分布列見解析，

【解析】

（1）中位數(shù)t∈（15，19），4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，再計(jì)算平均值得到答案.

（2）根據(jù)正態(tài)分布得到P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，計(jì)算得到答案.

（3）X可能取值為0，1，2，3，4，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

（1）根據(jù)題意，中位數(shù)t∈（15，19），

由4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，得t＝16，

4（9×0.025+13×0.075+17×0.100+21×0.050）＝15.8；

（2）商場顧客購買商品時(shí)刻服從正態(tài)分布N（15.8，3.62），μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，

所以2019年國慶節(jié)假期期間，商場顧客在12：12﹣19：24之間購買商品的概率為：

P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，所以人數(shù)為5000×0.6827×7≈23895；

（3）根據(jù)題意X可能取值為0，1，2，3，4，

P（X＝0），P（X＝1），

P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），

X的分布列如下

X	0	1	2	3	4
P

E（X）＝012.