Question

【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，圓臺的側面積為.若點分別為圓上的動點，且點在平面的同側.

（1）求證:；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明，只需證明即可；

（2），利用基本不等式知當時有最大值，再將多面體的體積分割成與之和即可.

（1）證明:設圓的半徑分別為

因為圓臺的側面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺中，平面平面，

所以.又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為.

又在直角三角形中，

所以當且僅當，

即點為弧的中點時，有最大值

過點作交于點，

因為平面，平面，

所以，平面

平面，，

所以平面.

又，則點到平面的距離

所以四棱錐的體積

綜上，當三棱錐體積取最大值時，

多面體的體積