Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB、FC.
(1)求證：FB＝FC；
(2)求證：FB²＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的長．

Answer 1

見解析.

(1)證明本題的關鍵是∠FBC＝∠FCB，需證：∠EAD＝∠FAB＝∠FCB,
需證：∠DAC＝∠FBC.
(2)證明本題的關鍵是證：△FBA∽△FDB.
（3）解本題的關鍵是求得∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°,∠D=30°.到此問題基本得以解決.
(1)證明：∵AD平分∠EAC.
∴∠EAD＝∠DAC.
∵四邊形AFBC內接于圓，
∴∠DAC＝∠FBC.
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC.
(2)證明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，∴＝，
∴FB²＝FA·FD.
(3)∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°.
∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.
∴∠D＝30°.∵BC＝6 cm，∴AC＝2cm，∴AD＝2AC＝4cm