Question

15．已知函數f（x）=$\frac{sinx}{x}$．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點A（π，f（π））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：若x∈（0，π），則f'（x）＜0；
（Ⅲ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，判定f（α）與f（β）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，得到f′（π），再求出f（π），代入直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數的導函數f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，令g（x）=x•cosx-sinx，可得g′（x）＜0，得到g（x）在（0，π）上為減函數，又g（x）＜g（0）=0．可得f′（x）＜0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在（0，π）上為減函數，得到0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π時，f（α）＞f（β）；當π≤β＜2π時，f（β）=$\frac{sinβ}{β}$＜0，可得f（α）＞f（β）．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，
f′（π）=-$\frac{1}{π}$，而f（π）=0，
∴曲線y=f（x）在點A（π，f（π））處的切線方程為y-0=$-\frac{1}{π}$（x-π），
即x+πy-π=0；
證明：（Ⅱ）f′（x）=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x•cosx-sinx，則g′（x）=cosx-x•sinx-cosx=-xsinx＜0，
∴g（x）在（0，π）上為減函數，則g（x）＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0；
解：（Ⅲ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，則f（α）＞f（β）．
事實上，當0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π時，
由（Ⅱ）知f′（x）＜0，
故f（x）在（0，π）上為減函數，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，可得f（α）＞f（β）；
當0＜α＜$\frac{π}{2}$，π≤β＜2π時，f（α）=$\frac{sinα}{α}＞0$，f（β）=$\frac{sinβ}{β}$＜0，可得f（α）＞f（β）．
綜上，若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜2π，則f（α）＞f（β）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求過曲線上某點處的切線方程，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．