Question

10．如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，AB=2$\sqrt{5}$，sin∠BAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，AD=3，則BD的長為3．

Answer 1

分析 先推導出sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此利用余弦定理能求出BD．

解答 解：在△ABC中，∵點D在BC邊上，AD⊥AC，AB=2$\sqrt{5}$，sin∠BAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，AD=3，
∴sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB×AD×cos∠BAD}$
=$\sqrt{20+9-2×2\sqrt{5}×3×\frac{\sqrt{5}}{3}}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查三角形邊長的求法，考查誘導公式、余弦定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．