Question

【題目】面積為2的中，，分別是，的中點，點在直線EF上，則的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據△ABC的面積為2，可得△PBC的面積＝1，從而可得PB×PC，故PB×PCcos∠BPC，由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，進而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．

從而，利用導數，可得最大值為，從而可得的最小值．

解：∵E、F是AB、AC的中點，∴EF到BC的距離＝點A到BC的距離的一半，

∴△ABC的面積＝2△PBC的面積，而△ABC的面積＝2，∴△PBC的面積＝1，

又△PBC的面積PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC．

∴PB×PCcos∠BPC．

由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．

顯然，BP、CP都是正數，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．

∴PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC

令y，則y′

令y′＝0，則cos∠BPC，此時函數在（0，）上單調增，在（，1）上單調減

∴cos∠BPC時，取得最大值為

∴的最小值是

故選：D