Question

已知函數f(x)＝ln ax－ (a≠0)．
(1)求函數f(x)的單調區間及最值；
(2)求證：對于任意正整數n，均有1＋(e為自然對數的底數)；
(3)當a＝1時，是否存在過點(1，－1)的直線與函數y＝f(x)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當a>0時，函數在(0，a)上是減函數，在(a，＋∞)上是增函數，f(x)min＝f(a)＝ln a²，無最大值．當a<0時，函數在(－∞，a)上是減函數，在(a,0)上是增函數，f(x)_min＝f(a)＝ln a²，無最大值．（2）見解析（3）僅有一根

(1)由題意得f′(x)＝.
當a>0時，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，此時函數在(0，a)上是減函數，在(a，＋∞)上是增函數，f(x)min＝f(a)＝ln a²，無最大值．
當a<0時，函數f(x)的定義域為(－∞，0)，此時函數在(－∞，a)上是減函數，在(a,0)上是增函數，f(x)_min＝f(a)＝ln a²，無最大值．
(2)取a＝1，由(1)知f(x)＝ln x－≥f(1)＝0，故≥1－ln x＝ln，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋.
(3)假設存在這樣的切線，設其中一個切點為
T，∴切線方程為y＋1＝(x－1)，將點T坐標代入得ln x₀－＋1＝，即ln x₀＋－－1＝0，①
設g(x)＝ln x＋－－1，則g′(x)＝.
∵x>0，∴g(x)在區間(0,1)，(2，＋∞)上是增函數，在區間(1,2)上是減函數，
故g(x)_極大值＝g(1)＝1>0，g(x)_極小值＝g(2)＝ln 2＋>0.
又g＝ln＋12－16－1＝－ln 4－5<0.
注意到g(x)在其定義域上的單調性，知g(x)＝0僅在內有且僅有一根，方程①有且僅有一解，故符合條件的切線僅有一條．