Question

若函數在上為增函數（為常數），則稱為區間上的“一階比增函數”，為的一階比增區間.
(1) 若是上的“一階比增函數”，求實數的取值范圍；
(2) 若  (，為常數)，且有唯一的零點，求的“一階比增區間”；
(3)若是上的“一階比增函數”，求證：，

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：
(1)根據新定義可得在區間上單調遞增,即導函數在區間上恒成立,則有,再利用分離參數法即可求的a的取值范圍.
(2)對求導數,求單調區間,可以得到函數有最小值,又根據函數 只有一個零點,從而得到,解出的值為1,再根據的“一階比增區間”的定義,則的單調增區間即為的“一階比增區間”.
(3)根據是上的“一階比增函數”的定義,可得到函數在區間上單調遞增,則由函數單調遞增的定義可得到,同理有,兩不等式化解相加整理即可得到.
試題解析：
(1)由題得, 在區間上為增函數,則在區間上恒成立,即,綜上a的取值范圍為.
(2)由題得,(),則,當時,因為,所以, .因為,所以函數 在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,即 .又因為有唯一的零點,所以(使解得帶入驗證),故 的單調增區間為.即的“一階比增區間”為.
(3)由題得,因為函數 為上的“一階比增函數”,所以在區間上的增函數,又因為,所以
……1,同理, ……2,則1+2得
,所以，.