Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB, PC的中點

(1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；    
（3）若ÐPDA＝45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

（1）∵ABCD是矩形,取PB的中點為G，連GF,GE,證得平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。（2）證明△PAE≌△CBE，得出EF⊥PC。又CD⊥GE證得CD⊥平面GEF，推出EF⊥CD。
（3）EF與面ABCD所成的角為45°。

試題分析：（1）∵ABCD是矩形,取PB的中點為G，連GF,GE,由三角形中位線定理，知GF//BC//AD,GE//PA,又GE與GF交于G，PA與AD交于A，所以平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。

（2）∵ABCD是矩形，∴CB＝AD、∠CBE＝90°、BC⊥CD。
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAE＝90°。
∵PA＝AD、CB＝AD，∴PA＝CB，又AE＝BE、∠PAE＝∠CBE＝90°，∴△PAE≌△CBE，
∴CE＝PE，而F∈PC且PF＝CF，∴EF⊥PC。
∵G、F分別是PB、PC的中點，∴GF是△PBC的中位線，∴GF∥BC，而BC⊥CD，
∴CD⊥GF。
∵G、E分別是PB、AB的中點，∴GE是△BPA的中位線，∴GE∥PA，而PA⊥平面ABCD，
∴GE⊥平面ABCD，∴CD⊥GE。
由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF＝G，∴CD⊥平面GEF，∴EF⊥CD。
（3）過F作FO⊥AC交AC于O。
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥EO，得：FO∥PA，FO⊥EO，AO＝CO。
由PF＝CF，FO∥PA，得：FO＝PA。
由AE＝BE，AO＝CO，得：EO＝BC。
由PA⊥面ABCD，FO∥PA，得：FO⊥面ABCD，∴∠FEO就是EF與面ABCD所成的角。
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴PA＝AD，結合證得的FO＝PA，
得：FO＝AD。
∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，結合證得的EO＝BC，得：EO＝ AD。
由FO＝AD，EO＝AD，FO⊥EO，得：∠FEO＝45°。
即：EF與面ABCD所成的角為45°。
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。