Question

（滿分12分）如右圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中點。

（Ⅰ）求證：B₁C//平面A₁BD；
（Ⅰ）求二面角A—A₁B—D的余弦值。

Answer 1

(1)連交于點，連.
由是的中點，是的中點，得到，推出∥平面.
(2) .

試題分析：(1)證明：連交于點，連.
則是的中點，
∵是的中點，∴
∵平面，平面，∴∥平面.
(2)法一：設,∵,∴,且，
作，連
∵平面⊥平面，∴平面，
∴∴就是二面角的平面角，
在中，，
在中，
，即二面角的余弦值是.…………12分
解法二：如圖，建立空間直角坐標系.

則，，，.
∴，，， 
設平面的法向量是，則
由，取
設平面的法向量是，則
由，取
記二面角的大小是，則，
即二面角的余弦值是.
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，應用空間向量，使問題解答得以簡化。本解答提供了兩種解法，相互對比，各有優點。