Question

如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿線段翻折到（點(diǎn)與點(diǎn)重合），使得平面平面，連接，.

(Ⅰ)證明：平面；
(Ⅱ)若，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ)連接，交于點(diǎn),在四邊形中，
證得，推出,從而，得到平面。
(Ⅱ)二面角的大小為.

試題分析：(Ⅰ)連接，交于點(diǎn),在四邊形中，
∵，
∴，∴,
∴
又∵平面平面，且平面平面=
∴平面      ……… 6分
(Ⅱ)如圖，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸，平面內(nèi)過(guò)且垂直于直線的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)點(diǎn)
又，，，，且由，有
，解得，∴      ８分
則有，設(shè)平面的法向量為，
由，即，故可取            １０分
又易取得平面的法向量為，并設(shè)二面角的大小為，
∴，∴ 
∴二面角的大小為.     １２分
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過(guò)程中，往往需要將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題加以解答。本題解答，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了繁瑣的證明過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”，對(duì)計(jì)算能力要求較高。