Question

如圖,四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=∠DAB=90°,CD=2AB,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=1,Q是PC的中點.

（1）求證:BQ∥平面PAD;

（2）如果點E是線段CD中點,求三棱錐Q—BEC的體積.

Answer 1

(1)證明:取PD的中點F,連結AF、FQ，

∵Q為PC的中點,則FQ為△PCD的中位線.

∴FQ∥CD且FQ=CD.

又∵AB∥CD且AB=CD,∴FQ∥AB且FQ=AB.

∴四邊形ABQF為平行四邊形,BQ∥AF.

又∵AF在平面PAD內,BQ在平面PAD外,∴BQ∥平面PAD.

(2)解法一:∵當E為CD的中點時,則DE∥AB且DE=AB,∴四邊形ABED為平行四邊形.

∴BE∥AD.又∠ADC=90°，∴CE⊥BE.

又∵PA⊥平面ABCD，CD在平面ABCD內，∴PA⊥CD.又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，CD⊥PD.∵QE∥PD，∴CE⊥QE.∴CE⊥平面BQE.

∵在△PAD中,AD=AP,F為PD的中點,∴AF⊥PD.又∵AF面PAD,∴AF⊥CD.

又PD∩CD=D,∴AF⊥面PCD.由BQ∥AF得BQ⊥面PCD,∴BQ⊥QE.

V_Q—BCE=V_C—BQE=CE·S_△BQE=·1···=.

解法二：∵PA⊥面ABCD，∴點Q在面ABCD內的射影在AC上.

設Q到平面ABCD的距離為h，則h=PA=.

V_Q—BCE=h·S_△BQE=··CE·BE=.