Question

如圖四邊形ABCD中，已知AC=5(3+

3

)，∠DAC=45°，∠DCA=∠ACB=30°，BC=20

3

（1）求線段CD的長度；
（2）求線段BD的長度．

Answer 1

分析：（1）在三角形ADC中，由∠DCA與∠DAC的度數，利用內角和定理求出∠ADC的度數，根據sin∠ADC，sin∠DAC，以及AC的長，利用正弦定理求出CD的長即可；
（2）由∠DCA+∠ACB求出∠DCB的度數，再由BC的長，在三角形DBC中，利用余弦定理即可求出BD的長．

解答：解：（1）∵AC=5（3+

3

），∠DCA=30°，∠DAC=45°，
∴∠ADC=180°-（45°+30°）=105°，
在△DAC中，由正弦定理得，

DC

sin∠DAC

=

AC

sin∠ADC

，
∴CD=

ACsin∠DAC

sin∠ADC

=

5(3+ 3 )sin45°

sin(60°+45°)

=

5(3+ 3 )sin45°

sin45°cos60°+cos45°sin60°

=

5 3 ( 3 +1)

1+ 3 2

=10

3

；
（2）∵∠DCB=∠DCA+∠ACB=60°，BC=20

3

，
∴在△DBC中，由余弦定理，得BD²=CD²+BC²-2CD•BC•cos∠DCB=300+1200-2×10

3

×20

3

×

1

2

=900，
∴BD=30．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式解本題的關鍵．