Question

15、如圖四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，Q為PA的中點．
求證：（1）PC∥平面QBD；
（2）平面QBD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）欲證PC∥平面QBD，根據線面平行的判定定理可知只需在平面QBD內找一直線與之平行，設AC∩BD=O，連OQ，易證OQ∥PC；
（2）欲證平面QBD⊥平面PAC，根據線面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面PAC，而易證BD⊥AC與PA⊥BD．

解答：證：設AC∩BD=O，連OQ．
（1）∵ABCD為菱形，∴O為AC中點，又Q為PA中點．
∴OQ∥PC （5分）
又PC∉平面QBD，OQ?平面QBD∴PC∥平面QBD （7分）
（2）∵ABCD為菱形，∴BD⊥AC，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD∴PA⊥BD （12分）
又PA∩AC=D∴BD⊥平面PAC又BD?平面QBD
∴平面QBD⊥平面PAC （14分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．