Question

【題目】某健身機構統計了去年該機構所有消費者的消費金額（單位：元），如下圖所示：

（1）將去年的消費金額超過 3200 元的消費者稱為“健身達人”，現從所有“健身達人”中隨機抽取 2 人，求至少有 1 位消費者，其去年的消費金額超過 4000 元的概率；

（2）針對這些消費者，該健身機構今年欲實施入會制，詳情如下表：

會員等級	消費金額
普通會員	2000
銀卡會員	2700
金卡會員	3200

預計去年消費金額在內的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理金卡會員. 消費者在申請辦理會員時，需-次性繳清相應等級的消費金額.該健身機構在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現有如下兩種預設方案：

方案 1：按分層抽樣從普通會員， 銀卡會員， 金卡會員中總共抽取 25 位“幸運之星”給予獎勵: 普通會員中的“幸運之星”每人獎勵 500 元； 銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 600 元； 金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 800 元.

方案 2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規則如下：從-個裝有 3 個白球、 2 個紅球（球只有顏色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-個球.若摸到紅球的總數消費金額/元為 2，則可獲得 200 元獎勵金； 若摸到紅球的總數為 3，則可獲得 300 元獎勵金；其他情況不給予獎勵. 規定每位普通會員均可參加 1 次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加 2 次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加 3 次摸獎游戲（每次摸獎的結果相互獨立） .

以方案 2 的獎勵金的數學期望為依據，請你預測哪-種方案投資較少？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）預計方案2投資較少.詳見解析

【解析】

（1）由題意，隨機變量的可能值為“”，得，即可求解。

（2）根據方案1求得按照方案1獎勵的總金額元，又由方案2：得到的可能值為“”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2獎勵的總金額，比較得到答案。

（1）設隨機抽取的2人中，去年的消費金額超過4000元的消費者有人，

則的可能值為“0，1，2”，

∴ .

（或者.

（2）方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”，則“幸運之星”中的普通會員，銀卡會員，金卡會員的人數分別為：

，，，

∴按照方案1獎勵的總金額為：元，

方案2：設表示參加一次摸獎游戲所獲得的獎勵金，

則的可能值為“0，200，300”，

∵摸到紅球的概率：，∴ ，

，，

∴的分布列為

	0	200	300

∴元，

∴按照方案2獎勵的總金額為：

元，

∵方案1獎勵的總金額多于方案1獎勵的總金額，

∴預計方案2投資較少.