Question

【題目】已知函數，為的導數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：在區間上存在唯一零點；

（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程。

（Ⅱ）設，則，由導函數研究的單調性進，而得出答案。

（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調性求出的最小值，列不等式求解。

（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（Ⅲ）由已知，轉化為， 且的對稱軸所以 .

由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以當時，.

所以，即，因此，的取值范圍是.